2013年春期南阳市部分示范高中期中考试

高二数学（理科）

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一·选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．质点运动规律
，则在时间
中，质点的平均速度等于（ ）

A ：
； B：
； C ：
； D：
；

2.设函数
可导，则
等于（ ）

A ：
； B ：
； C ：
； D ：
；

3．
( )

A.1 B.
C .
D.

4．曲线
在点
处的切线方程是 （ ）

A：
； B：
；

C：
； D：
；

5．函数
在
内的单调增区间是（ ）

A：
； B ：
； C：
； D：
；

6．函数
在区间
上的值域是（ ）

A ：
； B：
；

C ：
； D ：
；

7．函数
在
上（ ）

A ： 有最大值0，无最小值； B： 有最大值0，最小值
；

C ： 最小值
，无最大值； D： 既无最大值，也无最小值；

8．观察
，由归纳推理可得：若定义在上的函数
满足
，记
为
的导函数，则
等于（ ）

A ：
； B ：
； C ：
； D ：
；

9．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的（ ）

A： 充分条件 ； B：必要条件；

C： 充要条件 ； D： 等价条件；

10．设
，则
在复平面内对应的点位于（　　）

A：第一象限； B：第二象限；

C：第三象限； D：第四象限；

11．设
是原点，向量
对应的复数分别为
，那么向量
对应的复数是（　　）

A：
； B：
； C：
； D：
；

12．如果复数
的实部和虚部互为相反数，那么实数
的值是（　　）

A：
； B：
；

C：
； D：
；

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二．填空题（每小题5分，共20分）

13. 函数
在
内有最小值，则的范围是

14. 函数
，若
，其中
，

则
等于

15．周长为20的矩形，绕一条边旋转形成一个圆柱，则圆柱体积最大值是

16.如图1是
的导函数的图像，现有四种说法：

（1）
在
上是增函数；(2)
是
的极小值点；

(3)
在
上是增函数；（4）x=2是
的极小值点；

以上说法正确的序号是



三．解答题：共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17.（10分）用反证法证明：若
，且
，则

18. （本题满分12分）设函数f(x)=
在

x=1及x=2时取得极值.

(Ⅰ)求a, b的值；

（Ⅱ）若对于任意的x∈[0,3],都有f(x)(c
成立，求c的取

值范围.

19.（12分）用数学归纳法证明：

20.（12分）某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件件次品则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率与日产量的函数关系是
．

（1）将该厂的日盈利额Ｔ（元）表示为日产量（件）的函数；

（2）为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？

21.（12分）求由曲线
与直线
所围成的平面图形的面积．

22（12分）已知
，函数
,(
，为自然对数的底数)

当
时，求函数
的单调递增区间.

函数
是否为上的单调函数，若是，求出的取值范围；

若不是，请说明理由.

高二理科数学答案

一·选择题：

ACBAB ABDAD DC

二．填空题（每小题5分，共20分）

13：
； 14：
；15：
； 16： (2),(3)

三．解答题：

17：（10分）证明：假设

即

必有

可得
，与
矛盾

18：（12分）（Ⅰ）

因为函数f(x) 在x=1及x=2时取得极值.则有
即

解得a=-3,b=4.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，f(x)=
.

当x((0,1)时，
((; 当x((1,2) 时，
((；

当x((2,3) 时，
((；

所以当x=1时，f(x)取得极大值f(1)=5+8c,f(0)=8c,f(3)=9+8c.

则当x([0,3]时，f(x)的最大值为f(3)=9+8c.

因为对于任意的x([0,3]，有f(x)(c
恒成立，所以9+8c(c
.

解得c((1或c((.因此，c的取值范围为（-∞，-1）∪（9，+∞）.

19. （12分）证明：（1）当n=2时，左边
右边
，

，不等式成立

（2）假设
，
时不等式成立，即

那么

即当
时不等式也成立

根据（1）和（2），可知不等式对任何
都成立

20.解：（1）次品率
，当每天生产件时，有
件次品，有
件正品，所以
，

（2）由（1）得
．

由
得
或
（舍去）．

当
时，
；当
时，
．

所以当
时，最大．

即该厂的日产量定为16件，能获得最大利润．

21. （12分）解：解方程组
，

得曲线
与直线
交点的横坐标

由图像知，所求的面积

22. （12分）解：由于
，

（1）当
时，
，

当
，则
，即
时，函数
单调递增.所以，当
时，函数
的单调递增区间是
.

（2）函数
不是上的单调函数.理由如下：

记
，

所以，
时，
的值有正有负.

而
时，
恒成立

于是当
时，
的值有正有负，

故而函数
不是上的单调函数