黄梅一中2013年春季高二年级期中考试数学试题（理）

注意事项：

1．卷面共150分，考试时间120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学号、班级在密封线内填写清楚。

3．第Ⅰ卷各题答案填机读卡上，第Ⅱ卷答案写在答题卡上，考试结束，考生只交机读卡和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题

1、已知
是关于的方程
的一个根，则实数
的和是 （ ）

A. 14 B. 38 C. 7 D. 19

2、下列推理是归纳推理的是 （ ）

A．点P到定点A、定直线
的距离相等，可推导出点P的轨迹为抛物线

B．由
求出
，猜想出数列的前n项和
的表达式

C．由圆
的面积是
，猜想出椭圆
的面积是

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇

3、如图，平行六面体
中，
与
的交点为点
，设
，
，

，则下列向量中与
相等的向量是（ ）

A．
B．

C．
D．

4、用数学归纳法证明
时，由
的

假设到证明
时，等式左边应添加的式子是（ ）

A、
B、
C、
D、

5、用反证法证明命题：若整系数一元二次方程
有有理数根，那么
中至

少有一个是偶数时，下列假设中正确的是 （ ）

A、假设
都不是偶数 B、假设
都是偶数

C、假设
至多有一个偶数 D、假设
至多有两个偶数。

6、已知
，
.当
时，
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7、若关于的不等式
有实数解，则实数的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

8、设F1、F2分别为双曲线
的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足

，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、设函数
在R上可导，其导函数为
，且函数
的图像如图所示，则函数

一定有（ ）

A．极大值
和极小值

B．极大值
和极小值

C．极大值
和极小值

D．极大值
和极小值

10、若
的图象如图所示，定义
，则下列对
的性质描述正确

的有（　　）

⑴
上的增函数； ⑵
；

⑶
上先减后增； ⑷
，使得

A．（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4）

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题

11、复平面内表示复数
的点位于第四象限，则实数的取值范围

是

12、设
，则

13、已知点
、
，直线
、
相交于点
，且直线
的斜率与直线
的斜

率的差是2，点
的轨迹方程是

14、如图，
的二面角的棱上有A、B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都

垂直于AB。已知
，
，
，则

15、观察下列等式：

……

由以上等式猜想到一个一般的结论：

对于
，
_________.

三、解答题

16、解不等式：

17、请证明当
为非负数时成立
.

18、如图，四棱锥
的底面是正方形，
⊥平面
，
，点E是SD上的

点，且
.

（1）求证：对任意的
，都有AC⊥BE；

（2）若二面角C-AE-D的大小为
，求
的值

19、如图，在半径为
的
圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，

点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪

裁和拼接损耗），设矩形的边长
，圆柱的体积为
.

（1）写出体积V关于的函数关系式；

（2）当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？

20、已知椭圆
的对称中心为原点O，焦点在轴上，离心率为
， 且点（1，
）在该椭圆上.

（1）求椭圆
的方程；

（2）过椭圆
的左焦点
的直线
与椭圆
相交于
两点，若
的面积为
，求圆心

在原点O且与直线
相切的圆的方程.

21、设函数
.

（1）求函数
的单调增区间；

（2）若不等式
在
恒成立，求实数m的取值范围.

（3）若对任意的
，总存在
，使不等式
成立，求实数m的取值范围．黄梅一中2013年春季高二年级期中考试数学（理）答题卡

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

（将答案填涂在机读卡上）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．）

11．_________________ 12．_________________

13．_________________ 14．_________________

15．_________________

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．

17．

18．

19．

20．

21．