金乡一中2012—2013学年高二4月质量检测

数学（理）

一．选择题(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.设集合
，集合
，则下列关系中正确的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

2．已知
,则

A．2 B．
C．－2 D．－

3．椭圆
上的点到直线
的最大距离是（ ）

A．3 B．
C．
D．

4．阅读右侧程序框图，输出结果的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有（ ）不同的装法.

A．240 B．120 C．600 D．360

6. 设p:f(x)=x3+2x2+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增，q:m≥
,则p是q的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（　　）

A．

1200种

B．

1330种

C．

1320种

D．

600种



8. 设函数
，则 ( )

A.
是
的极大值点 B.
是
的极小值点

C.
是
的极大值点 D.
是
的极小值点

9.曲线
在点
处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ( )

A.
B.
C.
D.

10. 若
则
等于()

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

11.已知二次函数
，则它与轴所围图形的面积为 ( )

A.
B.
C.
D.

12. 已知函数
的图像与轴恰有两个公共点，则等于 ( )

A.-2或2 B. -9或3 C. -1或1 D. -3或1

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在题中横线上）．

13．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸

（单位：cm），可得这个几何体的体积是___________.

14．已知方程
所表示的

圆有最大的面积，则直线
的倾斜角

=_________　．

15.是椭圆
的右焦点，定点A
，M是椭

圆上的动点，则
的最小值为 .

16．已知单位向量
的夹角为
，若
，如图，则
叫做向量
的
坐标，记作
，有以下命题：

①已知
，则
；

②若
，则

；

③若
，则

；

④若
，
，且
三点共线，则
。

上述命题中正确的有 ．（将你认为正确的都写上）

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17. （本小题满分10分）

在二项式
的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列

（1）求展开式的常数项；

（2）求展开式中二项式系数最大的项；

（3）求展开式中各项的系数和。

18.（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）求曲线
在点
处的切线方程；

（2）直线
为曲线
的切线，且经过原点，求直线
的方程及切点坐标．

19.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c.

(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，求b的取值范围；

(2)若f(x)在x＝1处取得极值，且x∈[－1,2]时，f(x)

20. （本小题满分12分）

（1）甲盒中有红，黑，白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄，黑，白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球，求取出的两个球是不同颜色的概率。

（2）在单位圆的圆周上随机取三点A、B、C，求
是锐角三角形的概率。

21．（本小题满分12分）

在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．

（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；

（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；

（3）求点G到平面BCE的距离．

22. （本小题满分12分）

设
,在平面直角坐标系中,已知向量
,向量
,
,动点
的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

（2）已知
,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且
(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知
,设直线
与圆C:
(1

参考答案:

1-5 ACDBA 6-10 CADDB 11-12 BA

13.
14.
15.
16.②④

17.解:展开式的通项为
，r=0，1，2，…，n

由已知：
成等差数列，∴
∴ n=8

（1）
（2）
（3）令x=1，各项系数和为

18.解：（1）

在点
处的切线的斜率
，

切线的方程为
；

（2）设切点为
，则直线
的斜率为
，

直线
的方程为：
．

又直线
过点
，

，

整理，得
，
，

，

的斜率
，直线
的方程为
，切点坐标为

19.解：　(1)f′(x)＝3x2－x＋b，因f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，则f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，

∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)上恒成立．

设g(x)＝x－3x2.

当x＝时，g(x)max＝，∴b≥.

（2)由题意知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.

x∈[－1,2]时，f(x)

f＝＋c，f(－1)＝＋c，

f(2)＝2＋c.

∴f(x)max＝f(2)＝2＋c，∴2＋c2或c<－1，所以c的取值范围为(－∞，

－1)∪(2，＋∞)．

20.（1） 解：（1）设A＝“取出的两球是相同颜色”，B＝“取出的两球是不同颜色”，则事件A的概率为：　　P（A）＝
＝
。　由于事件A与事件B是对立事件，所以事件B的概率为：

　　　　　P（B）＝1－P（A）＝1－
＝

解法2：如图3所示建立平面直角坐标系，A、B、
、
为单位圆与坐标轴的交点，当
为锐角三角形，记为事件A。则当C点在劣弧
上运动时，
即为锐角三角形，即事件A发生，所以

21. 解法一：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），

B（2，0，1），
，

（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：

设F是线段CE的中点，则点F的坐标为
，∴
，取平面ACD的法向量
，

则
，∴BF∥平面ACD；

（2）设平面BCE的法向量为
，则
，且
，

由
，
，

∴
，不妨设
，则
，即
，

∴所求角θ满足
，∴
；

（3）连接BG、CG、EG，得三棱锥C﹣BGE，由ED⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，又CG⊥AD，∴CG⊥平面ABED，设G点到平面BCE的距离为h，则VC﹣BGE=VG﹣BCE即
，由
，
，
，

∴
即为点G到平面BCE的距离．

22.解:（1）因为
,
,
,

所以
, 即
.

当m=0时,方程表示两直线,方程为
;

当
时, 方程表示的是圆

当
且
时,方程表示的是椭圆;

所以
, 即
且
, 即
恒成立.

所以又因为直线
为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为
,
, 所求的圆为
.

当切线的斜率不存在时,切线为
,与
交于点
或
也满足
.

综上, 存在圆心在原点的圆
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
.

(3)当
时,轨迹E的方程为
,设直线
的方程为
,因为直线
与圆C:
(1

因为
与轨迹E只有一个公共点B1,

由（2）知
得
,

即
有唯一解

则△=
, 即
, ②

由①②得
, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点,

由
中
,所以,
,

B1(x1,y1)点在椭圆上,所以
,所以
,

在直角三角形OA1B1中,
因为
当且仅当
时取等号,所以
,即

当
时|A1B1|取得最大值,最大值为1.