辽宁省实验中学分校2012—2013学年度下学期阶段性测试

数学学科（理） 高二年级

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 一个物体的运动方程为
其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在
秒末的瞬时速度是（ ）

A.
米/秒 B.
米/秒 C.
米/秒 D.
米/秒

2.曲线
在点（－1，－3）处的切线方程是（ ）

A .
B.
　 C.
　 D.

3．设函数
，则（ ）　

A．
为
的极大值点 B．
为
的极小值点

C．
为
的极大值点 D．
为
的极小值点

4．下列求导运算正确的是（ ）

A.
B．

C．
D．

5. 已知
=
·
，则
=（ ）

A .
+ cos1 B.
sin1+cos1 C.
sin1-cos1 D.sin1+cos1

6．函数
在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）

A. 1，－1 　B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－19

7.已知函数
的导函数，

函数
的图象如右图所示，且
，

则不等式
的解集为（ ）

A．
B．

C．
D．

8.已知函数
的导函数
的图像如下，则（ ）

A．函数
有1个极大值点，1个极小值点

B．函数
有2个极大值点，2个极小值点

C．函数
有3个极大值点，1个极小值点

D．函数
有1个极大值点，3个极小值点

9．
在定义域内可导，
的图象如图1所示，则导函数
可能为（ ）

10.设
分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当
时，
，且
，则
的解集是（ ）

A. (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3)

C. (－∞，－3)∪(3，+∞) D. (－∞，－3)∪(0，3)

11.已知函数
，则
与
的大小关系为（ ）

A．
B．

C．
D
与
的大小关系不确定

12.已知函数
的图象在点
处的切线的斜率为3，数列

的前项和为
,则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
．

14.若
有极大值和极小值，则的取值范围是__ .

15.函数
在
上有最大值3，那么此函数在
上的最小值为_____

16.若函数
在
处取极值，则
.

三.解答题：本大题共6小题，共70分.

17. (本小题满分10分) 已知曲线
在点
处的切线
平行直线
，且点
在第三象限.

（1）求
的坐标；

（2）若直线
, 且
也过切点
,求直线
的方程.

18.（本小题满分12分） 已知函数
，讨论
的单调性.．

19．（本小题满分12分）将边长为的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？

20.(本小题满分12分)

已知为实数，

（1）求导数
；

（2）若
，求
在[－2，2] 上的最大值和最小值；

（3）若
在
和
上都是递增的，求的取值范围.

21.(本小题满分12分)已知函数
．

（1）求函数
的单调递减区间；

（2）若
，证明：
．

22．(本小题满分12分)若存在实常数
和
，使得函数
和
对其定义域上的任意实数分别满足：
和
，则称直线
为
和
的“隔离直线”．已知
，
为自然对数的底数)．

（1）求
的极值；

（2）函数
和
是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

理数答案

选择题 CDDBB BAADD AD

二.填空题

13.2 14.
或
15.
16. 3

三．解答题

17.解： （1）由
=4得
或

又因为点
在第三象限，所以
，所以

所以
……………………………………………………5分

（2）因为
，所以
,所以
方程为：

化简得
…………………………………………………10分

18.解：
，……………………………………………2分

①当
即
时
在内单调递增，

②当
即
或
时

解
得
，
…………………8分

函数的增区间为
和
…………………10分

减区间为

]……………………………………12分

19.解：设小正方形的边长为x，则盒底的边长为a－2x，

∴方盒的体积
……………………………………4分

　
……………………………………10分

∴函数V在点x＝处取得极大值，由于问题的最大值存在，

∴V()＝即为容积的最大值，此时小正方形的边长为．…………………12分

20.解：⑴由原式得
∴
……………3分

⑵由
得
,此时有
.

由
得
或x=-1 , 又

所以f(x)在[－2,2]上的最大值为
最小值为
…………………8分

⑶解法一:
的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得

即
∴－2≤a≤2.

所以的取值范围为[－2,2]. ……………………………………12分

解法二:令
即
由求根公式得:

所以
在
和
上非负.

由题意可知,当
或
时,
≥0,

从而
,
,

即
解不等式组得－2≤≤2.

∴的取值范围是
.

21.解：⑴函数f(x)的定义域为
．
＝
－1＝－
.

由
<0及x>－1，得x>0．

∴ 当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）．… 4分

⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，
＞0，当x∈（0，＋∞）时，
＜0，

因此，当
时，
≤
，即
≤0∴
．

令
，则
＝
．……………8分

∴ 当x∈（－1，0）时，
＜0，当x∈（0，＋∞）时，
＞0．

∴ 当
时，
≥
，即
≥0，∴
．

综上可知，当
时，有
．……………………………………12分

22.解(1)

，

．

当
时，
．

当
时，
，此时函数
递减；

当
时，
，此时函数
递增；

∴当
时，
取极小值，其极小值为
． …………………………………6分

(2)解法一：由（1）可知函数
和
的图象在
处有公共点，因此若存在
和
的隔离直线，则该直线过这个公共点．

设隔离直线的斜率为
，则直线方程为
，即
．

由
，可得
当
时恒成立．

，

由
，得
．

下面证明
当
时恒成立．

令

，则

，

当
时，
．

当
时，
，此时函数
递增；

当
时，
，此时函数
递减；

∴当
时，
取极大值，其极大值为
．

从而
，即
恒成立．

∴函数
和
存在唯一的隔离直线
．……………12分

解法二： 由(1)可知当
时，
(当且仅当
时取等号) ．

若存在
和
的隔离直线，则存在实常数
和
，使得

和
恒成立，

令
，则
且

，即
．

后面解题步骤同解法一．