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建瓯二中2012-2013学年高二上学期期末考试数学（理）试题 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分. 1．命题“若，则”的逆否命题是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2．i是虚数单位，＝ ( ) A．1＋2i B．－1－2i C．1－2i D．－1＋2i 3．对两个变量与进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是 （ ） .模型Ⅰ的相关指数为 .模型Ⅱ的相关指数为 .模型Ⅲ的相关指数为 .模型Ⅳ的相关指数为 4顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是 （ ） A. B. C.或 D. 或 5. 已知椭圆 + ＝1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为8，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于 ( ) A. B．1 C．2 D．4 6. 随机变量服从二项分布～，且则等于 （ ） A. B. C. 1 D. 0 7．从6名学生中，选出4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若其中，甲、乙两人不能从事工作A，则不同的选派方案共有 （ ） A．96种 B．180种 C．240种 D．280种 8．已知函数f (x)的导函数的图象如右图所示， 那么函数f (x)的图象最有可能的是 （ ）
9．已知直线l过点P(1,0,－1)，平行于向量，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是 （ ） A. (1,－4,2) B. C. D. (0,－1,1) 10．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为( ) A．(1,3) B．(1,3] C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。 11． . 12. 若命题“?x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是 ． 13.θ是任意实数，则方程x2+y2sin＝４表示的曲线不可能是 ． 14. 已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为 ． 15．sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝. 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分13分)在的展开式中，第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大27，求展开式中的常数项及所有项系数的和。 17．(本小题满分13分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝， ∠ABC＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；(2)求二面角A－A1C－B的余弦值． 解：法一：(1)证明：∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥AA1， 在△ABC中 ,∠BAC＝90°，即AB⊥AC， ∴AB⊥平面ACC1A1， 又A1C?平面ACC1A1， ∴AB⊥A1C. 法二：(1)证明：∵三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱， ∴AA1⊥AB，AA1⊥AC. 在△ABC中, ∠BAC＝90°，即AB⊥AC. 如图，建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A1(0,0，)， ∴＝(1,0,0)， ＝(0，，－)． ∵·＝1×0＋0×＋0×(－)＝0， ∴AB⊥A1C. (2)如图，可取m＝＝ (1,0,0)为平面AA1C的法向量，设平面A1BC的法向量为n＝(l，m，n)， 则·n＝0，·n＝0， 又＝(－1，，0)，＝ (0，，－)． ∴∴l＝m，n＝m. 不妨取m＝1，则n＝(，1,1)． cos〈m，n〉＝ ＝＝， ∴二面角A－A1C－B的余弦值为. 18．(本小题满分13分) 已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； （2）若直线L方程为y=x+1，L交椭圆于M、N两点，求的长. 19．(本小题满分13分) 用数学归纳法证明：当x>-1，n时，(1+x)n≥1+nx.。 20．(本小题满分14分) 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值， (1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围． 解：(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 由f′(－)＝－a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0得a＝－，b＝－2， f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，函数f(x)的单调区间如下表： x (－∞，－) － (－，1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以函数f(x)的递增区间是(－∞，－)与(1，＋∞)，递减区间(－，1)； (2)f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，当x＝－时， f(－)＝＋c为极大值，而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值，要使f(x)＜c2，x∈[－1,2]恒成立，则只需要c2＞f(2)＝2＋c，得c＜－1，或c＞2. 21．(本小题满分14分)用射击的方法引爆装有汽油的大汽油罐，已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功（可以是两次不连续的命中），每次射击命中率都是，每次命中与否互相独立。 (1) 求油罐被引爆的概率. (2) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望 解：（1）“油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为，则P()=C ∴P(A)=1- 答：油罐被引爆的概率为 （2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5， P(ξ=2)=， P(ξ=3)=C ， P(ξ=4)=C， P(ξ=5)=C ξ 2 3 4 5 P 故ξ的分布列为：
Eξ=2×+3×+4×+5×=. | ||||||||||||||||||||||||||||||
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