2015年测试数学试题卷

试场号：_______ 座位号：______ 考号：_______________ 姓名：______________

说明：本卷满分120分，测试时间100分钟。所有答案均答在答题纸上，否则无效。

一、选择题（每小题5分，共30分）

1、化简：
的结果是（ ）

A、 1 B、-5 C、
D、

A、
B、
C、
D、
的大小不能确定

3、有甲、乙、丙三种货物。若购买甲3件，乙7件，丙1件共需31.5元；若购买甲4件，乙10件，丙1件共需42元，则购买甲、乙、丙各2件共需（ ）元。

A、19.6 B、21 C、22.4 D、24

4、方程组
有四组不同的解，则
的取值范围是( )

A、
＞
B、
＜
＜
C、 0＜
≤
D、 0＜
＜

5、如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在抛物线Y= -x2+2上，则点E的坐标是( )

A、 (
,
)

B、(
,
)

C、(
,
)

D、(
,
)

（ ）

二、填空题（每小题5分，共30分）

7、如图，已知正方形ABCD的中心为O，面积为300cm2，P为正方形内的一点，且∠OPB=45
， PA∶PB=3∶4，则PB= cm。

。

9、甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车距A站24公里；当乙车走完全程的一半时，甲车距B站15公里，则A、B两站的距离为 公里。

10、把反比例函数
的图像先水平向左平移2个单位,再向上平移1个单位得到的函数解析式是 。

11、如图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形
，正四边形
、正五边形
、…、正n边形
，点M、N分别是弧
和
上的点．且弧
弧
，连结
、
相交于点P，观察并分析图1、图2、图3、…中
的大小，推测
的度数与正多边形边数n的关系为 。

12、已知平面直角坐标系中有两个定点A（3，5），B（7， 2），在X轴上找一点P，使

∣PA∣-∣PB∣的绝对值最大，则点P的坐标是 。

三、解答题（每题15分，共60分）

13、已知实数x,y满足方程：3x+4y-12=0，求
的最小值。

14、已知二次函数
。

（1）若b=0,求函数在
。

（2）若函数在
。

15、如图，
，P为BC边上的动点，过P作PD//AB交AC于点D，连接AP，
ABP，
APD，
CDP的面积分别记为S1，S2，S3，设CP=x。

试用x的代数式分别表示S1，S2，S3；

（2） 当P点在什么位置时，
APD的面积最大，并求最大值。

16、已知如图，直线
过点C(0,3)，且与二次函数
图象相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），过P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为A、B。

（1）．求证：PA = PC；

（2）．将直线
绕点C旋转，在旋转过程中恰好使△PAC是正三角形；

①．求出此时点P的坐标和直线PQ的解析式；

②．在y轴左侧的抛物线上有一动点M，连结MA，MC，另有一点从C点出发，沿着
的路径运动，是否存在这样的点M，使得运动总路径最短？若存在，求出最短路径的长；若不存在，请说明理由；

③．以PQ为直径作⊙O′,试判断⊙O′与x轴的位置关系，并说明理由。

2015数学测试参考答案

一、选择题

1、A 2、C 3、B 4、D 5、A 6、B

二、填空题

7、
8、2 9、40

10、
11、
=
12、

三、解答题

13、解：设直线L：3x+4y-12=0上的动点P（x,y）,则
看作动点P与原点（0,0）的距离d。-------------------------------------------------------------------------------------3分

∴当OP⊥L时，d最小。---------------------------------------------6分

∵3x+4y-12=0与坐标轴的交点分别为：A（4,0）,B(0,3)

∴AB=
=5--------------------------------------------------------------------------9分

∴由直角三角形等面积转化，得：
,----------------------------12分

∴
------------------------------------------------------------------15分

（方法二：转化为根号下二次函数研究最小值）

14、解：

（1）由已知，1+b+C=0,C=-b-1

∴当b=0时，c=-1, ∴y=
-------------------------------------------------------2分

∵开口向上，对称轴为x=0 (y轴)

∴当x=3时，
-----------------------------------------------------------------4分

（2）∵
,对称轴为
-------------------------------------5分

ⅰ）若
,--------7分

∴
,(不符合，舍去)；--------------------------------------------------------------------8分

ⅱ）若
--10分

化简得：

∴
(符合)，
(符合)；-----------------------------------------------11分

ⅲ）若
------------13分

∴
(不符合，舍去)------------------------------- ----------------------------------------14分

∴综上可得：
----------------15分

15、解：（1）由已知得：
，∴BC边上的高为4，--3分

设
CDP中PC边上的高为h，则由相似得：
-------6分

∴ S1=
, S3=
,

∴S2=12-(
)-
=

=
;------------------------------------------------12分

（2）∵S2=
=
；

∴当x=3时，y有最大值3；此时CP=3，即P是BC的中点。-----------------15分

16、（1）证明：过P作PN⊥y轴于N，设P（
）,则PN=
，CN=
， PA=
---------------------------------------------------------------------------2分

∴PC2=PN2+CN2=
＋
=
= PA2 --------------3分

∴PA = PC-----------------------4分

同理可证QB = QC

(2)①∵△PAC是正三角形

∴∠APC=∠PAC=60° ∴∠OAC=30°

∴OA=
OC=3
∴P点横坐标为 -3

由此可得P
--------------------------------6分

由P、C两点坐标可求得直线PQ得解析式为
----------------------------7分

② 存在

求得Q点坐标为（
），B（
）

要使OC＋OB＋BM＋MC最小，只要使BM＋MC最小；

∴连结BC，则BC与抛物线的交点即为所求的M点；---------------------------------------9分

∴BM＋MC最小值=BC=2

∴OC＋OB＋BM＋MC最小值=OC＋OB＋BC=3＋
＋2
= 3＋3

∴最短路径的长为3＋3
；-----------------------------------------------------------------------11分

③ ⊙O′与x轴相切-------------------------------------------------------12分

∵PQ=PC＋CQ=PA＋QB=6＋2=8 ∴⊙O′的半径为4-----------------------13分

过O′作O′H⊥x轴于H点，则O′H是梯形PABQ的中位线

∴O′H=
（PA＋QB）= 4---------------------------------------------------14分

即圆心O′到x轴的距离等于⊙O′的半径

∴⊙O′与x轴相切。------------------------------------15分

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