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安徽省六校2015级高一新生入学素质测试

数 学

一、选择题（每题3分，共30分）

1．下列各式中，正确的是（ ）A．
B．
C．
D．

2．下列说法中正确的是（ ）

A．若
，则
B．
是实数，且
，则

C．
有意义时，
D．0.1的平方根是

3．某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个区在一条直线上，位置如图所示．公司的接送打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（　　）

A．A区 B． B区 C． C区 D． 不确定

4．若某几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为
，则该几何体的俯视图可以是（　　）

A． B. C． D．

5．甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：

天数

累计到第3天

累计到第5天



工作进度







则完成这项工作共需（ ）

A．9天 B．10天 C．11天 D．12天

6．东东准备给南南打电话，由于保管不善，电话本上的南南手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x，y表示这两个看不清的数字，那么南南的手机号码为139x370y580，东东记得这11个数字之和是20的整数倍．则东东一次拨对南南手机号码的概率是（　　）

　 A．
B．
C．
D．

7．如图，△ABC中，∠A=30°，
，AC=
，则AB的长为（　　）

A．
B．
C． 5 D．

8．有两个一元二次方程：M：
N：
，其中
，下列四个结论中，错误的是（ ）

A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；

B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；

C．如果5是方程M的一个根，那么
是方程N的一个根；

D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是

9．已知二次函数
，当b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（　　）

A．先往左上方移动，再往左下方移动 B．先往左下方移动，再往左上方移动

C．先往右下方移动，再往右上方移动 D．先往右上方移动，再往右下方移动

10． 如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形。若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号是（ ）

　 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

二．填空题（每题4分，共16分）

11．

12．已知一条抛物线经过点A（
），B（
），C（
），D（
），则
的值为

13．如图，将边长为
的正六边形
在直线
上按顺时针方向向右作无滑动滚动，当
第一次到如图右侧位置时，顶点
所经过的路程长为

14．有一个数学游戏，其规则是：对一个“数串”中任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，产生一个新“数串”，这称为一次操作．例如：对于数串2，7，6，第一次操作后产生的新数串为2，5，7，﹣1，6；对产生的新数串进行同样的操作，第二次操作后产生的新数串为2，3，5，2，7，﹣8，﹣1，7，6；…对数串3，1，6也进行这样的操作，第2015次操作后所产生的那个新数串中所有数的和是　　　　　　．

三．解答题(共6小题，54分)

15．(8分)求不等式组
的整数解．

16．(8分)解方程：

17．（8分）A、B两地相距360千米.甲车在A地，乙车在B地，两车同时出发，相向而行，在C地相遇.为节约费用，两车相遇并换货后，均按原路返回出发地. 设每车在行驶过程中速度保持不变，如图所示为两车离B地的距离
（千米）与时间
（小时）之间的函数关系的部分图像.

根据所提供的信息，回答下列问题：

（1）甲车的速度: ；乙车的速度: ；

（2）将反映乙车相遇前、甲车相遇后的运动状态的图像分别在下图中表示出来.

18．（10分）在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC上一点，AD=BD=
，∠B=30°，过点A、D作⊙O交AB于点E

（1） 如图1，圆心O在AB上，求弧DE及线段EB、BD所围成图形的面积

（2） 如图2，圆心O不在AB上，且⊙O与DB交于M，从点D作DN⊥AB于点N，交⊙O于点P，问：当⊙O变化时，DP-DM的值变不变？若变化，说明理由；若不变，求出其值。

图1 图2

19．（10分）一次函数
的图象如图所示，它与二次函数
的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．

（1）求点C的坐标；

（2）设二次函数图象的顶点为D．

① 若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；

② 若CD =AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．

20．（10分）阅读下面的情景对话，然后解答问题：

老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．

小华：等边三角形一定是奇异三角形！

小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？

问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确？

问题（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；

问题（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD=BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE=AD，CB=CE．

①求证：△ACE是奇异三角形；

②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．

参考答案：

一、选择题：1-5:BCACA 6-10: DCDDA

二、填空题：11、
12、 0 13、
14、6055

15．
，

由①得：x≤1， ………………2分

由②得：x＞﹣4， ………………4分

∴不等式组的解集为﹣4＜x≤1， ………………6分

则不等式组的整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，1． 　 ………………8分

16、裂项相减得
………………7分

检验：
是原方程的解 ……………… 8分

17、解：（1）v甲＝80km/h，v乙＝100km/h； ………………4分

（2）如下图：

………………8分

18、（1）连OD，证明∠ODB=90°：
5分

（2）连接AM，AP证明△ACM≌△ADP DP-DM=CD=AD=

当圆O变化时，DP-DM的值不变，为
10分

19、解：（1）∵
，∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，

∵一次函数
的图象与对称轴交于点C， ∴C点横坐标为2，当
时，
，故点C（2，
）； ……………… 3分

（2）①∵点D与点C关于x轴对称， ∴D（2，
）， ∴CD=3，

设A（m，
m）（m＜2），由S△ACD=3得：
， 解得m=0，

∴A（0，0）．由A（0，0）、D（2，
）得：

，解得：a=
，c=0． ∴二次函数的关系式为
； …… 5分

②设A（m，
m）（m＜2）， 过点A作AE⊥CD于E，则AE=
，CE=
，

AC=
，

∵CD=AC，∴CD=
，

由S△ACD=10得
，

解得：
或
（舍去）， ∴
， ∴A（
，
）， CD=5，

当a＞0时，则点D在点C下方， ∴D（2，
），

由A（
，
）、D（2，
）得：

，解得
∴
；

当a＜0时，则点D在点C上方， ∴D（2，
），

由A（
，
）、D（2，
）得：

，解得
∴
。

所以，二次函数解析式为
或
……10分

20、（1）设等边三角形的一边为a，则a2+a2=2a2，

∴符合奇异三角形”的定义．∴正确； ……………… 2分

（2）∵
C=90°，

则a2+b2=c2①，

∵Rt
ABC是奇异三角形，且b＞a， ∴a2+c2=2b2②，

由①②得：b=
a，c=
a，

∴a：b：c=1：
：
； ……………… 4分

（3）①∵以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，

利用直角三角形外接圆直径就是斜边，AD=BD，

∴AB是⊙O的直径，

∴AB2=AD2+BD2=2AD2，

∴AC2+CB2=2AD2，

又∵CB=CE，AE=AD，

∴AC2+CE2=2AE2，

∴
ACE是奇异三角形； ……………… 6分

②由①可得
ACE是奇异三角形，

∴AC2+CE2=2AE2，

当
ACE是直角三角形时，

由（2）得：AC：AE：CE=1：
：
或AC：AE：CE=
：
：1，

当AC：AE：CE=1：
：
时，AC：CE=1：
，即AC：CB=1：
，

∵
ACB=90°，

∴
ABC=30°，

∵AD=BD，∠ADB=90°，

∴
ABD=45°，

∴
DBC=∠ABC+∠ABD=75°， ……………… 8分

当AC：AE：CE=
：
：1时，AC：CE=
：1，即AC：CB=
：1，

∵
ACB=90°，

∴
ABC=60°，

∵AD=BD，∠ADB=90°，

∴
DBC=∠ABC+∠ABD=105°，

∴
DBC=105°或∠DBC=75°． ……………… 10分

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