高一年级2015年摸底试题

数　学

时间：120分钟　满分：120分

温馨提示：请将答案写在答纸上

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号写在答题卡上，每小题3分，共30分）

1．﹣
的相反数是

　 A．2 B． ﹣2 C．
D． ﹣

2．宇宙现在的年龄约为200亿年，200亿用科学记数法表示为

　 A．0.2×1011 B． 2×1010 C． 200×108 D． 2×109

3．下列计算正确的是

　 A．x4+x4=x16 B． （﹣2a）2=﹣4a2 C．x7÷x5=x2 D． m2?m3=m6

4．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是

　 A．圆锥 B． 圆柱 C．长方体 D．三棱柱

5．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是

　 A．
B．
C．
D．

6．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨．设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据题意所列方程组正确的是

　 A．　　B．　 C．　D． 7．甲、乙两名同学某学期的四次数学测试成绩（单位：分）如下表：

 第一次

第二次

第三次

第四次



 甲

 87

 95

 85

 93



 乙

 80

 80

 90

 90




据上表计算甲、乙两同学四次数学测试成绩的方差分别为=17、=25，下列说法正确的是

　 A． 甲同学四次数学测试成绩的平均数是89分

　 B． 甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分

　 C． 乙同学四次数学测试成绩的众数是80分

　 D． 乙同学四次数学测试成绩较稳定

8．.如图是二次函数y=ax2+bx+c=（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有

　 A．①③④ B． ②④⑤ C． ①②⑤ D． ②③⑤

9．如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（　　）m．

　 A． B． 5 C． D．

10．如图，边长为1的正方形ABCD，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运动，设△AMN的面积为s，运动时间为t秒，则能大致反映s与t的函数关系的图象是

　 A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．计算的值是　▲　　．

12．方程（x+2）（x﹣3）=x+2的解是　▲　．

13．函数=kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集为　▲　．

14．如图，已知△ABC中，AB=5，AC=3，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，则线段AD的长为　▲　．

15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为　▲　．

16．如图，直线y=﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=
（k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=
（k≠0）上的点D1处，则a=　▲　．

三、解答题

17．(4分)化简： ．

18．(本题10分)为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部分对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．

（1）抽查D厂家的零件为　▲　件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为　▲　；

（2）抽查C厂家的零件为　▲　件，并将图1补充完整；

（3）通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家；

（4）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出（3）中两个厂家同时被选中的概率．

19．（7分）为支援灾区，某校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品共1000件．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同

（1）求A、B两种学习用品的单价各是多少元？

（2）若购买这批学习用品的费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？

20．（本题6分）如图所示，小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（
≈1.7，
≈1.4，结果保留一位小数）

21．（本题9分）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=2
，BP=4，求⊙O的半径；

（2）求证：直线BF是⊙O的切线；

（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．

22．（本题10分）某景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．

（1）a=　▲　，b=　▲　；

（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；

（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到该景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？

23．（本题12分）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．

（1）请直接写出线段BE与线段CD的数量关系：　▲　；

（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），

①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；

②当AC=
ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．

24．（本题14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；

（3）在（2）的条件下：

①连接DF，求tan∠FDE的值；

②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

高一年级2015年摸底试题答案

数　学

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号写在答题卡上，每小题3分，共30分）

1．C　2．B　3．C　4．D　5．B　6．A　7．B　8．B　9．C　10．D

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．　4
﹣1；12．　x1=﹣2，x2=4；13．　x＜1；14．　
　；15．　错误！未找到引用源。　；16.　2。

三、解答题

17．解：原式=
+
?
=
+
=
=
，

18．（1）　500　，　90°　；

（2）　400，　补充条形图的小长方形高为380；

（3）A厂家合格率=630÷（2000×35%）=90%，

B厂家合格率=370÷（2000×20%）=92.5%，

C厂家合格率=95%，

D厂家合格率470÷500=94%，

合格率排在前两名的是C、D两个厂家；

（4）根据题意画树形图如下：

共有12种情况，选中C、D的有2种，

则P（选中C、D）=
=
．

19．解：（1）设A型学习用品单价x元，

根据题意得：
=
，

解得：x=20，

经检验x=20是原方程的根，

x+10=20+10=30．

答：A型学习用品20元，B型学习用品30元；

（2）设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品（1000﹣a）件，由题意，得：

20（1000﹣a）+30a≤28000，

解得：a≤800．

答：最多购买B型学习用品800件．

20．解：设CD=xm，

在Rt△BCD中，∵∠DBC=45°，

∴BC=CD=x，

在Rt△DAC中，∵∠DAC=30°，

∴tan∠DAC=
，

∴x+2=
x，解得x=
+1，

∴BC=CD=
+1，

在Rt△FBE中，∵∠DBC=45°，

∴FE=BE=BC+CE=
+1+3≈5.7．

答：树EF的高度约为5.7m．

21．（1）解：CD⊥AB，

∴PC=PD=
CD=
，

连接OC，设⊙O的半径为r，则PO=PB﹣r=4﹣r，

在RT△POC中，OC2=OP2+PC2，

即r2=（4﹣r）2+（
）2，解得r=
．

（2）证明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，

∴△PBC∽△BFA，

∴∠ABF=∠CPB，

∵CD⊥AB，

∴∠ABF=∠CPB=90°，

∴直线BF是⊙O的切线；

（3）四边形AEBF是平行四边形；

理由：∵CD⊥AB，垂足为P，

∴当点P与点O重合时，CD=AB，

∴OC=OD，

∵AE是⊙O的切线，

∴BA⊥AE，

∵CD⊥AB，

∴DC∥AE，

∵AO=OB，

∴OC是△ABE的中位线，

∴AE=2OC，

∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC．

∴∠D=∠F，

∴CD∥BF，

∵AE∥BF，

∵OA=OB，

∴OD是△ABF的中位线，

∴BF=2OD，

∴AE=BF，

∴四边形AEBF是平行四边形．

22．（1）a=　6　，b=　8　；

（2）设y1=k1x，

∵函数图象经过点（0，0）和（10，480），

∴10k1=480，

∴k1=48，

∴y1=48x；

0≤x≤10时，设y2=k2x，

∵函数图象经过点（0，0）和（10，800），

∴10k2=800，

∴k2=80，

∴y2=80x，

x＞10时，设y2=kx+b，

∵函数图象经过点（10，800）和（20，1440），

∴
，

∴
，

∴y2=64x+160；

∴y2=
；

（3）设A团有n人，则B团的人数为（50﹣n），

当0≤n≤10时，48n+80（50﹣n）=3040，

解得n=30（不符合题意舍去），

当n＞10时，48n+64（50﹣n）+160=3040，

解得n=20，

则50﹣n=50﹣20=30．

答：A团有20人，B团有30人．

23．（1）　BE=CD　；

（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，

∴AB=AC，AE=AD，

由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，

在△BAE与△CAD中，

，

∴△BAE≌△CAD（SAS），

∴BE=CD；

②∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC=45°，

∵AC=
ED，

∴∠CAD=45°，

∴角α的度数是45°．

24．解：（1）如图1，∵抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，

∴
，

解得
．

∴抛物线解析式为y=﹣
x2+
x+3；

（2）如图2，∵点F恰好在抛物线上，C（0，3），

∴F的纵坐标为3，

把y=3代入y=﹣
x2+
x+3得，3=﹣
x2+
x+3；

解得x=0或x=4，

∴F（4，3），

∴OH=4，

∵∠CDE=90°，

∴∠ODC+∠EDH=90°，

∴∠OCD=∠EDH，

在△OCD和△HDE中，

，

∴△OCD≌△HDE（AAS），

∴DH=OC=3，

∴OD=4﹣3=1；

（3）①如图3，连接CE，

∵△OCD≌△HDE，

∴HE=OD=1，

∵BF=OC=3，

∴EF=3﹣1=2，

∵∠CDE=∠CFE=90°，

∴C、D、E、F四点共圆，

∴∠ECF=∠EDF，

在RT△CEF中，∵CF=OH=4，

∴tan∠ECF=
=
=
，

∴tan∠FDE=
；

②如图4，连接CE，

∵CD=DE，∠CDE=90°，

∴∠CED=45°，

过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°

∵EH=1，OH=4，

∴E（4，1），

∵C（0，3），

∴直线CE的解析式为y=﹣
x+3，

设直线DG1的解析式为y=﹣
x+m，

∵D（1，0），

∴0=﹣
×1+m，解得m=
，

∴直线DG1的解析式为y=﹣
x+
，

当x=4时，y=﹣
+
=﹣
，

∴G1（4，﹣
）；

设直线DG2的解析式为y=2x+n，

∵D（1，0），

∴0=2×1+n，解得n=﹣2，

∴直线DG2的解析式为y=2x﹣2，

当x=4时，y=2×4﹣2=6，

∴G2（4，6）；

综上，在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°，点G的坐标为（4，﹣
）或（4，6）．

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