数 学 试 题

注意事项：本试卷满分120分，考试时间90分钟.

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.下列计算正确的是（　　）[中学

A．－|－3|＝－3 　　B．30＝0　　　　

C．3－1＝－3 　　D．
＝±3

2.下列无理数中，在-1与2之间的是（ ）

-
B. -
C.
D.

3.如果点P（2x+6,x-4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为（ ）

4.我们学习解二元一次方程组时，通过代入消元法或者加减消元法变二元方程为一元方程，这种解题方法主要体现的数学思想是（　　）

A．分类讨论 B．化归与转化

C．函数与方程 D．数形结合

5.对于非零的两个实数a、b，规定
，若
，则x的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为( )

A．240元 B．250元 C．280元 D．300元

如图，□ABCD的对角线AC、BD相较于点O，点E、F分别是线段AO、BO的中点，若EF=3，△COD的周长是18，则□ABCD的两条对角线的和是( )

A. 18 B.24 C.30 D.36

8.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

第8题图

9.如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是( )

A.BD⊥AC B.AC2=2AB·AE

C.△ADE是等腰三角形 D. BC＝2AD. 第9题图

10.如图,已知抛物线
和直线
.我们约定：当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M= y1=y2.

下列判断： ①当x＞2时，M=y2；

②当x＜0时，x值越大，M值越大；

③使得M大于4的x值不存在；

④若M=2，则x= 1 .其中正确的有 （ ）

A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个 第10题图

填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

分解因式：2a2-8 = .

点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于 .

从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从2、3、4中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是 ．

14. 如右图，直线AB交双曲线
于Ａ、B，交x轴于点C,B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA.若OM=2MC,S⊿OAC=12.则k的值为___________.

第14题图

15.如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）.则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_____________.

第15题图

16.如图,在⊿ABC中,AB=AC,D是AB上一点,点E在AC的延长线上,且BD=CE,连结DE交BC于F,过点D作DG⊥AE,垂足为G,连结FG .若FG=
,∠E=30°,则GE= .

第16题图

三．解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（本题共2个小题，每小题5分，共10分）

(1)计算:

(2)先化简，再求值：
，其中m是方程x2＋3x－1＝0的根．

18.（本题6分）已知，关于x的方程
的两个实数根
、
满足
，求实数
的值.

19.（本题8分） 如图6，
中，
，
．

（1）动手操作：利用尺规作以
为直径的
，并标出
与
的交点
，与
的交点

（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）综合应用：在你所作的圆中，

①求证：
；

②求点
到
的距离．

20. （本题10分） 为推广阳光体育“大课间”活动，我市某中学决定在学生中开设A：实心球．B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：

（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？

（2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；

（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．

21.(本题12分)某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．

（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．

22.(本题12分)（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE

填空：①∠AEB的度数为 ；

②线段AD、BE之间的数量关系是 .

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。

（3）解决问题

如图3，在正方形ABCD中，CD=
。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。

图3

23.(本题14分)如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(－1,0),B(5,0）两点，直线y=－
x+3与y轴交于点C，，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PE =5EF,求m的值；

（3）若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E/落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

数学试题参考答案及评分标准

选择题（每小题3分，共30分）

1——5 ACCBA 6——10 ABDDB

二、填空题（每小题3分，共18分）

11. 2(a+2)(a-2) 12.2或6 13.

14. 8 15. (3π-
)cm2 16.

解答题（共72分）

17.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）

（1）原式=
+(-2)-
+1 ........................(4分)

=
-1 ..................................(5分)

（2）∵m是方程x2＋3x－1＝0的根，

∴m2＋3m－1＝0，即m2＋3m＝1.................(1分)

∴所求式＝

＝
...............(3分)

＝

＝
........................(4分)

＝
．............................(5分)

（本题6分）

解:原方程可变形为:x2-2(m+1)x+m2=0 ...................(1分)

∵x1、x2是方程的两个根，

∴⊿≥0 即4（m+1）2-4m2≥0

∴8m+4≥0 m≥-
................................(3分)

又x1、x2满足
，

∴x1=x2或x1=-x2 即⊿=0或x1+x2=0 .......................(4分)

由⊿=0即8m+4=0 ，得m=-
.

由x1+x2=0即2(m+1)=0，得m=-1(不合题意，舍去)

所以，当
时，m的值为-
. .......................(6分)

19.（本题8分）

解：（1）先作出
中点
，再以
为圆心，
为半径画圆.

如图所示，圆
为所求．．．．．．．．．．．．．．（3分）

（２）①如图连接
，设
,

又

则

．．．．．．．．．（5分）

②连接
,过
作
于
,过
作
于

cosC=
, 又

,

又
为直径

设
，则
，

在
和
中，

有

即

解得：

即

又

即

．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）

(本题10分)

解：（1）根据题意得：

15÷10%=150（名）

答:在这项调查中，共调查了150名学生................(2分)

（2）本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数是；150﹣15﹣60﹣30=45（人），............................................(3分)

所占百分比是：
×100%=30%，......................(4分)

画图如下：

.........(6分)

（3）用A表示男生，B表示女生，画图如下：

共有20种等可能情况，同性别学生的情况是8种，

则刚好抽到同性别学生的概率是
．......... ....(10分)

(本题12分)解：（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，..............................(1分)

由题意得

，...................................(3分)

解得
，....................................(4分)

答：件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元；

...........................................(5分)

（2）当0＜x≤20时，

y=30x；........................................(7分)

当x＞20时，

y=20×30+（x﹣20）×30×0.7=21x+180；..........(9分)

（3）设购进玩具x件（x＞20），则乙种玩具消费27x元；

当27x=21x+180，

则x=30

所以当购进玩具正好30件，选择购其中一种即可；....(10分)

当27x＞21x+180，

则x＞30

所以当购进玩具超过30件，选择购甲种玩具省钱；....(11分)

当27x＜21x+180，

则x＜30

所以当购进玩具少于30件，选择购乙种玩具省钱．.....(12分)

(本题12分)

(1)① 60 ...........................................(2分)

② AD=BE.........................................(4分)

(2)∠AEB＝900；AE=2CM+BE. …………………………………(6分)

理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900,

∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB,

即∠ACD= ∠BCE

∴△ACD≌△BCE. ………………………………………………(8分)

∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.

∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．………………………(9分)

在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，

∴CM= DM= ME,∴DE=2CM.

∴AE=DE+AD=2CM+BE…………………………………………………(10分)

或
…………………………………………………(12分)

23.(本题14分)

解：(1)∵抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A (－1,0) , B(5,0)两点，

∴
∴

∴抛物线的解析式为y=－x2+4x+5．………………………（3分）

（2）点P横坐标为m，

则P(m,－m2＋4m＋5）,E(m,－
m+3)，F(m,0),

∵点P在x轴上方，要使PE=5EF,点P应在y轴右侧，∴ 0＜m＜5.

PE=－m2＋4m＋5－(－
m＋3)= －m2＋
m＋2…………（6分）

分两种情况讨论：

①当点E在点F上方时，EF=－
m＋3.

∵PE=5EF，∴－m2＋
m＋2=5(－
m＋3)[

即2m2－17m＋26=0，解得m1=2，m2=
（舍去）…………（8分）

②当点E在点F下方时，EF=
m－3.

∵PE=5EF，∴－m2＋
m＋2=5(
m－3)，

即m2－m－17=0，解得m3=
，m4=
（舍去），………（10分）

∴m的值为2或
………………………………………（11分）

(3)点P的坐标为P1(－
，
),P2(4，5), P3(3－
，2
－3).………………………………………………………………（14分）

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