平 度 市 高 考 模 拟 试 题（五）

数学（理）试题

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）

1．已知实数集R，集合
集合
，则
= ( )

A．
B．
C．
D．

2. 已知复数

（
是虚数单位），
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径

组成的图形，则此几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.设函数
，则下列结论正确的是（ ）

①
的图象关于直线
对称； ②
的图象关于点
对称；

③
的图象向左平移
个单位，得到一个偶函数的图象；

④
的最小正周期为
，且在
上为增函数．

A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ③.

5.已知
，点
满足
，则
的最大值为

A.
B.
C. 0 D.1

6.分别在区间
内任取两个实数
，则不等式
恒成立的概率为

A.
B.
C.
D.

7.若函数
上既是奇函数又是增函数，则

的图象是（ ）

8、已知函数
与
的图象上存在关于
轴对称的点，则实数
的取值范围是（ ）。

A.
B.
C.
D.

9．已知
是双曲线
的两焦点，以线段
为边作正
，若边
的中点在双曲线上，则此双曲线的离心率是 (　　)

A．
B.
C.
D.

10. 已知函数
，函数
若存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题 （共100分）

二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）

11．在边长为2的菱形
中，
，点
为线段
上的任意一点，则
的最大值为 ．

12．命题
.若此命题是假命题，则实数
的取值范围是

13.若
的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为
，则直线
与曲线
所围成的封闭区域面积为 .

14．若直线
与连接两点
的线段相交，则实数a的取值范围

15．定义在R上的函数
是增函数，且对任意的
恒有
，若实数
满足不等式组
，则
的范围为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

已知函数
,且
,
,其中
,若函数
相邻两对称轴的距离大于等于
.

（Ⅰ）求
的取值范围；

（Ⅱ）在锐角三角形
中，
分别是角
的对边，当
最大时，
，且
，求
的取值范围．

17． （本小题满分12分）

为落实国务院“十三五”规划中的社会民生建设，某医院到社区检查老年人的体质健康情况.从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式如下：

根据老年人体质健康标准，成绩不低于80的为优良.

（Ⅰ）将频率视为概率.根据样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；

（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记
表示成绩“优良”的人数，求
的分布列及期望.

18．（本题满分12分）

如图
，平行四边形
中，
，
，
是
的中点.将
沿
折起，使面
面
，
是
的中点，图
所示.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
是棱
上的动点，当
为何值时，二面角
的大小为
.

19.（本题满分12分）

数列
中，
当
时，其前
项和为
，满足

（Ⅰ）求证:数列
是等差数列，并求
的表达式；

（Ⅱ）设
数列
的前
项和为
，不等式
对所有的
恒成立,求正整数
的最大值．

20.（本题满分13分）

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，直线y＝x＋与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1，F2为其左，右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的垂直平分线过定点C，求实数k的取值范围．

21．（本小题满分14分）

设函数
．

（Ⅰ）若函数
在点
处的切线为
，求实数
的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）当
时，求证：
．

平度市高考模拟试题五 数学试卷（理科）答案

1-5 BBCDD 6-10 BABDB

11．
；12
；13
；14
； 15 [13，49]

16、解析：（1）

……………………2分

…………………………4分

（2）当
最大时，即
，此时
……………………5分

…………………………7分

由正弦定理得

,

…………………………9分

在锐角三角形
中,
即
得
…………10分

的取值范围为
…………………………12分

17.解：（Ⅰ）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为
，

故从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为
， ………………2分

设“在该社区老人中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A，

则
； ………………5分

（Ⅱ）由题意可得，
的可能取值为0，1，2，3．

，
，

，
，……………9分

所以
的分布列为

0

1

2

3
















．.............12分

18.解：（1）连接
，因为
，
是
的中点，所以
是正三角形，取
的中点
，则
，∵面
面
，

∴
平面
，
平面
，∴
，………………2分

连接
，
为正三角形，
是
中点，
，
为
的中位线，

∴
，故
，

∴
平面
………………4分

（2）由（1）可知，
，
，

以
为坐标原点，以
方向为
轴的

正方向，建立空间直角坐标系
如图所示， ………………5分

不妨设
,

则
，
，
，则
，设

，可得
,
， ………………7分

设
为平面
的一个法向量，则有
，
，即
，令
，可得，

所以
， ………………9分

易知
为平面
的一个法向量，因为二面角
的大小为
，

所以有
，

解得
， ………………11分

当
时，二面角
的大小为
. ………………12分

19、解：（1）因为
，

所以