成都外国语学校2016届高三最后一卷

数学（理）试题

满分150分，时间120分钟

第I卷（满分50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若右图所示的集合
，
，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知
是复数的虚数单位，若复数
，则复数
（ ）

A.
B.
C.
D.

3.在等差数列
中，若
，则
（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直

角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

5. 将编号为l、2、3、4的四个小球，放入编号为．1、2、3、4、5的五个盒子，一个盒子最多放入一个小球，若每个盒子的编号与放入的小球的编号之和为偶数，则放法种数为（ ）

A . 4 B. 6 C. 8 D. 12

6．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

7．如图，质点
在半径为
的圆周上逆时针运动，其初始位置为
，角速度为
，那么点
到
轴距离
关于时间
的函数图象大致为（ ）

8.若函数
是其定义域上的偶函数，则函数
的图象不可能是( )

9．经过双曲线
的右焦点
作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于
两点，若
，则该双曲线的离心率是（ ）

A.
或
B.
或
C.
D.

10．已知函数
，若有且仅有两个整数使得
，则实数
的取值范围是（ ）

A．（
，2] B．
C．
D．

第Ⅱ卷（满分100分）

二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上

11． 二项式
展开式中的常数项是 ．

12. 某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生.

13.已知
是坐标原点，点
，若点
为平面区域
上的一个动点，则
的取值范围是________.

14.已知
,则
内切圆的圆心到直线
的距离为_____.

15. 设函数
在区间
上的导函数为
，
在区间
上的导函数为
，若在区间
上，
恒成立，则称函数
在区间
上为“凸函数”.例如函数
在任意正实数区间
上都是凸函数.现给出如下命题：

①区间
上的凸函数
在其图象上任意一点
处的切线的斜率随
的增大而减小；

②若函数
都是区间
上的凸函数，则函数
也是区间
上的凸函数；

③若在区间
上，
恒成立，则
都有

④对满足
的任意实数
，若函数
在区间
上均为凸函数，则
的最大值为
.:]

⑤已知函数
，则对任意实数
，
恒成立；

其中正确命题的序号是 .（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.

16. (本小题满分12分)

已知向量
，
，若函数
的相邻两对称轴间的距离等于
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）在
中,
分别是角
所对的边，且
，
，且
,求
的面积.

17．（本小题满分12分）

2016年5月20日，针对部分“二线城市”房价上涨过快，媒体认为国务院常务会议可能再次确定五条措施(简称“国五条”).为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图)，同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表):[:]

月收入(百元)

赞成人数



[15,25)

8



[25,35)

7



[35,45)

10



[45,55)

6



[55,65)

2



[65,75)

2





（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的中位数和平均月收入；

（Ⅱ）若从月收入(单位:百元)在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为
，求随机变量
的分布列及数学期望.

18．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥
中,
为
上一点，
平面
.
，
，
，
，
为
上一点，且
．

（Ⅰ）求证:
；

（Ⅱ）若二面角
为
，

求直线
与平面
所成角的大小．

19. （本小题满分12分）

已知各项为正数的数列
的前
项和为
且满足

（Ⅰ）数列
的通项
;

（Ⅱ）令
，求数列
的前
项和
.

20.（本小题满分13分）

已知
是椭圆
的左、右焦点，
为坐标原点，点
在椭圆上，线段
与
轴的交点
满足

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）⊙
是以
为直径的圆，一直线
与⊙
相切，并与椭圆交于不同的两点
．当
，且满足
时，求
面积
的取值范围．

21.（本小题满分14分）

设知函数
（
是自然对数的底数）．

（Ⅰ）若函数
在点
处的切线为
，求实数
的值；

（Ⅱ）若函数
在定义域上不单调，求
的取值范围；

（Ⅲ）设函数
的两个极值点为
和
，记过点
，
的直线的斜率为
，是否存在
，使得
？若存在，求出
的取值集合；若不存在，请说明理由．

成都外国语学校高2016届考前适应性考试

数学试题(理工类)

参考答案(第I卷)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

D

A

D

D

A

C

C

B

B



8.提示：因为
偶函数，所以
，①当
时，选项A正确,

②当
时，
选项B正确, ③当
时，
选项D正确,:,]

故选择C.

9.提示：

易得选B

10.提示：方法1. 易得
在
单调增，且

所以使得
的
的整数解不可能为正整数和零，只可能负整数，

所以分离参数得：
，作出
与
的图像易知只有
两个整数解满足条件。进而选择B.

方法2.研究
与

方法3.特殊值法

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上

11. 15 12. 37 13.
14. 1 15. ①③⑤

15提示：①有凸函数的图像作切线变知正确，或者因为在区间
上，
恒成立

所以
在区间
单调减，所以结论成立；

②举反例说明：如：函数
，
在区间
都是凸函数，但是
在区间
不是凸函数；

③若在区间
上，
恒成立，所以函数
在区间
上为“凸函数”.

有图像知道
成立；

④因为
的两个零点为
，所以
在
的最大值为9，即

⑤由已知转化为
，数形结合转化割线与切线的问题，

或者构造新函数
,注意：

因为
而，
所以，
单调减，且
,所以，

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.

16. 解：（Ⅰ）

………4分

　　　　　　　　　　　　

　　　
.　　………5分

（Ⅱ）

又

而

　　　　　　
　　　　　　　　　　………6分

由 C=π-(A+B)，得sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA，

∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A，

∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA，

整理得sinBcosA=3sinAcosA． ………………………8分

若cosA=0，即A=
时，△ABC是直角三角形，且B=
，

于是b=ctanB=2tan
=
，∴ S△ABC=
bc=
． ……………………10分

若cosA≠0，则sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a．①

由余弦定理得：
②

联立①②，结合c=2，解得

，b=
，

∴ S△ABC=
absinC=
×
×
×
=
．

综上，△ABC的面积为
或
．………………………12分

17．解：（Ⅰ）由直方图知：

设中位数
：则