海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习

数学试卷（理科） 2016.4

本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

1．函数
的定义域为

A．［0，＋
）? ? B．［1，＋
）? ? C．（－
，0］? D．（－
，1］

2．某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为

A．－1 　　

B．1 　　　

C．－i 　　

D．i

3．若x，y 满足
，则
的最大值为

A．
　　　　B．3

C．
　　　　D．4

4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为

A．
　　　B．

C．
　　D．

5．已知数列
的前n 项和为Sn，则“
为常数列”是“
”的

A．充分不必要条件 　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件 　　　D．既不充分也不必要条件

6．在极坐标系中，圆C1 :
与圆C2:
相交于 A，B两点，则｜AB｜＝

A．1 　　B．
　 C．
　　 D． 2

7．已知函数
是偶函数，则下列结论可能成立的是

A．
　　B．

C．
　　　D．

8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值

如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则

下列叙述正确的是

A．甲只能承担第四项工作 　B．乙不能承担第二项工作

C．丙可以不承担第三项工作 　D．丁可以承担第三项工作

二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．

9．已知向量
，若
，则t ＝ _______．

10．在等比数列
中，a2＝2，且
，则
的值为_______．

11．在三个数
中，最小的数是_______．

12．已知双曲线C：
的一条渐近线l 的倾斜角为
，且C 的一个焦点到l 的距离

为
，则C 的方程为_______．

13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．

（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种；

（ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．

14．已知函数
，对于实数t ，若存在a＞0，b ＞0 ，满足：
，使得

2，则记a＋b的最大值为H（t ）．

（ⅰ）当
＝2x时，H（0）＝ _______．

（ⅱ）当

且t
时，函数H（t）的值域为_______．

三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13 分）

如图，在△ABC 中，点D在边 AB上，且
．记∠ACD＝
，∠BCD＝
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求BC 的长．

16．（本小题满分13 分）

2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推

广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法

上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．

某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中

分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4

株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：

（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；

（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为
，
，根据样本数据，

试估计
与
的大小关系（只需写出结论）；

（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为
，求

随机变量
的分布列和数学期望．

17．（本小题满分14 分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M ，N

分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．

（Ⅰ）求证： BC⊥平面PAB ；

（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内；

（Ⅲ）当PA＝AB＝2，二面角C－AN －D的大小为
时，求PN 的长．

18．（本小题满分13 分）

已知函数f (x) ＝ln x＋
－1，

（Ⅰ）求函数 f (x)的最小值；

（Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；

（Ⅲ）求证：直线 y＝x不是曲线 y ＝g(x)的切线。

19．（本小题满分14 分）

已知椭圆C：
的离心率为
，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，

且｜AB｜＝2．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在 y轴的右侧．直线PA，PB与直线x＝ 4

分别交于M ， N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E ， F ，求点P 横

坐标的取值范围及｜EF｜的最大值．

20．（本小题满分13 分）

给定正整数n(n≥3)，集合
．若存在集合A，B，C，同时满足下

列条件：

① U n ＝A∪B∪C，且A∩B ＝ B∩C ＝A∩C＝
；

②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集

合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；

③集合A ， B ，C 中各元素之和分别记为SA ， SB ，SC ，有SA ＝SB ＝SC ；

则称集合 Un为可分集合．

（Ⅰ）已知U8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A ， B ，C ；

（Ⅱ）证明：若n 是3 的倍数，则Un不是可分集合；

（Ⅲ）若Un为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案

数学（理科） 2016.4

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

C

A

C

B

C

B



二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，

共30分）

9．

 10．

 11.



12．

 13．

 14．





三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15．解：（Ⅰ）

在
中，由正弦定理,有
…………………2分

在
中，由正弦定理,有
…………………4分

因为
,所以
…………………6分

因为
, 所以
…………………7分

（Ⅱ）因为
，
,

由（Ⅰ）得
…………………9分

设
,由余弦定理,

…………………11分

代入,得到
,

解得
,所以
. …………………13分

16解: (I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数

…………………2分

则山下试验田
株青蒿的青蒿素产量
估算为

g …………………3分

（Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差
和
，结果为

.

…………………6分

（Ⅲ）依题意，随机变量
可以取
， …………………7分

,

,

,
…………………9分

7.2

7.4

8

8.2

8.6

9.4



p















随机变量
的分布列为

…………………11分

随机变量
的期望
.

…………………13分

17解:

（Ⅰ）证明：在正方形
中，
, …………………1分

因为
平面
，
平面
， 所以
. …………………2分

因为
，且
，
平面
，

所以
平面
…………………4分

（Ⅱ）证明：因为
平面
，
平面
,

所以
…………………5分

在
中，
，
，

所以
. …………………6分

在正方形
中，
, 所以
， …………………7分

所以
可以确定一个平面，记为

所以
四个点在同一个平面
内 …………………8分

（Ⅲ）因为
平面
，
平面
，

所以
,
.

又
,如图，以
为原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系
, …………………9分

所以
.

设平面
的一个法向量为
，

平面
的一个法向量为
,

设
,
，

因为
，所以
，

又
，所以
，即
，…………………10分

取
, 得到
, …………………11分

因为
，

所以
，即
，

取
得, 到
, …………………12分

因为二面
大小为
, 所以
,

所以

解得
, 所以
…………………14分

18解: （Ⅰ）函数
的定义域为
， …………………1分

…………………2分

当
变化时，
，
的变化情况如下表：























极小值





 …………………4分

函数
在
上的极小值为
，

所以
的最小值为
…………………5分

（Ⅱ）解：函数
的定义域为
， …………………6分

…………………7分

由（Ⅰ）得，
，所以
…………………8分

所以
的单调增区间是