丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二） 2016.5

数学（理科）

第一部分 （选择题 共40分）

选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知集合
，那么
=

（A）
（B）
（C）
（D）

2.极坐标方程ρ=2cosθ表示的圆的半径是

（A）
（B）
（C）2 （D）1

3. “
”是“
”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

4.已知向量
，
，
，则
等于_________ .

（A）
（B）
（C） 1 （D）-1

5.如图，设不等式组
表示的平面区域为长方形ABCD，长方形ABCD内的曲线

为抛物线
的一部分，若在长方形ABCD内随机取一个点，则此点取自阴影部分的概率等于

（A）
（B）

（C）
（D）

6.要得到
的图象，只需将函数
的图象

（A）向上平移1个单位 （B）向下平移1个单位

（C）向左平移1个单位 （D）向右平移1个单位

7.已知等比数列
的前
项和为
，则下列结论中一定成立的

（A）若
，则
（B）若
，则

（C）若
，则
（D）若
，则

8. 如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD

为正方形，给出下列命题：

① 不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o或90o；

② 四边形AECF是正方形； ③ 点A到平面BCE的距离为1.

其中正确的命题有

（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9.在复平面内，点A对应的复数是2+i.若点A关于实轴的对称点为点B，则点B对应的复数为___________.

10. 执行右侧程序框图，输入n=4,A=4,x=2,输出

结果A等于______

11.已知点
在抛物线
上,抛物线的焦点为F，那么|PF|=____________.

12.已知等差数列
的公差不为零，且
，则

______.

13. 安排6志愿者去做3项不同的工作，每项工作需要2人，由于工作需要，A，B二人必须做同一项工作，C，D二人不能做同一项工作，那么不同的安排方案有_________种.

14.已知
是函数
两个相邻的两个极值点，且
在
处的导数
，则
________；

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.[

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若
，
,求
的值.

16.（本小题共13分）

某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如下表所示：

编号

项目

收案(件)

结案(件)













判决(件)





1

刑事案件

2400

2400

2400





2

婚姻家庭、继承纠纷案件

3000

2900

1200





3

权属、侵权纠纷案件

4100

4000

2000





4

合同纠纷案件

14000

13000

n





其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等.根据以上数据，回答下列问题.

（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；

（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；

（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为
,方差为
，如果表中
，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为
，试判断
与
的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）.

17.（本小题共14分）

如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B=90O, BE∥CD,且BE =2 CD =2BC=2，A为BE的中点.将△EDA沿AD折到△PDA位置(如图2)，连结PC，PB构成一个四棱锥P-ABCD.

（Ⅰ）求证AD⊥PB；

（Ⅱ）若PA⊥平面ABCD.

①求二面角B-PC-D的大小；

②在棱PC上存在点M，满足
，使得直线AM与平面PBC所成的角为45O，求
的值.

18.（本小题共13分）

设函数
.

（Ⅰ）当
时，求函数
在区间
内的最大值；

（Ⅱ）若函数
在区间
内有两个零点，求实数
的取值范围.

19.（本小题共13分）

已知椭圆C：
.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）若椭圆C与直线
交于M，N两点，且|MN|=
，求m的值；

（Ⅲ）若点

与点
在椭圆C上，且点A在第一象限，点P在第二象限，点
与点
关于原点对称，求证：当
时，三角形△PAB的面积为定值.

20.（本小题共13分）

对于数对序列
，
，
，
，
，记

，
，其中

为不超过
的最大整数.(注：
表示当
取0,1,2,3，…,m

时，
中的最大数）

已知数对序列
，回答下列问题：

（Ⅰ）写出
的值；

（Ⅱ）求
的值，以及此时的
的值；

（Ⅲ）求得
的值时，得到
，试写出
的取值范围.（只需写出结论,不用说明理由）.

丰台区2016年高三年级第二学期数学统一练习（二）

数 学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

D

A

C

B

A

B

C





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 2-i 10. 49 11. 5 12.
13. 12 14.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由正弦定理及

得：
， ----------------------2分

化简
----------------------4分

解得：
， ----------------------6分

因为0o

（Ⅱ）由余弦定理得：
，即
.---------------------10分

解得
和
， ---------------------12分

经检验1，4都是解，所以
的值是1和4. ---------------------13分

16.（本小题共13分）

解：

（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，共有2400+3000+4100=9500种取法，其中取到的是结案案件方法数为2400+2900+4000=9300种---—————-----—--3分

设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A，则P（A）=
.——-——-----5分

（Ⅱ）在该结案案件中任取一件共有2900种取法，其中是判决案件有1200种取法.—8分

设“在该结案案件中取1件判决案件”为事件B，则P（B）=
.-----------10分

(注：讲评时应告诉学生这个概率低是因为人民法院做了大量工作如法庭调解案件、使得当事人撤诉等工作，有时法律不能解决感情问题)

（Ⅲ）
>
. --------------------------13分

（可以简单直观解释，也可以具体：

设4类案件的均值为
，则
.

）

17.（本小题共14分）

解：

（Ⅰ）在图1中，因为AB∥CD，AB=CD，

所以ABCD为平行四边形，所以AD∥BC,

因为∠B=90O,所以AD⊥BE，当三角形EDA沿AD折起时，AD⊥AB，AD⊥AE，

即：AD⊥AB，AD⊥PA， -----------------------3分

又AB∩PA=A.

所以AD⊥平面PAB， -----------------------4分

又因为PB在平面PAB上，所以AD⊥PB. ---------------------5分

（Ⅱ）

①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x,y,z

轴建立空间直角坐标系，如图. -------6分

则A（0,0,0），B（1,0,0），C（1,1,0），P（0,0,1）.

即
，
，

—————-------———7分

设平面PBC的法向量为
，则

，所以
，取
，取
， —------———8分

所以
；同理求得平面PCD的法向量
.

设二面角B-PC-D为
，所以
,————————9分

所求二面角B-PC-D为120o. —————————————10分

②设AM与面PBC所成的角为
.

，

平面PBC的法向量
, --------------12分

,---------------13分

解得：
—————————————14分

18.（本小题共13分）

解：

（Ⅰ）当
时，
，
—-2分

与
、
之间的关系如下表：



1







+

0

-





增函数

极大值

减函数





函数在区间
内只有一个极大值点，所以这个极值点也是最大值点
，---4分

最大值
. --------------------5分

（Ⅱ）

（1）当
时，
，显然在区间
内没有两个零点，
不合题意.

--------------------------------- ---6分

(2)当
时，
，
. --------8分

①当
且
时，
，函数
区间
上是增函数，所以函

数
区间
上不可能有两个零点，所以
不合题意； ————9分

②当
时，在区间
上
与
、
之间的关系如下表：











+

0

-





增函数

极大值

减函数



 -------10分

因为
，若函数
区间
上有两个零点，

则
，所以
，化简
. ------------11分

因为
，

, ----------------------12分

所以
.

综上所述，当
时，函数
在区间
内有两个零点.

—————————13分

19.（本小题共14分）

解：（Ⅰ）因为
，所以
，离心率
. ————————3分

（Ⅱ）
，消去
的并化简得
.------4分