2016年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（三）

理 科 数 学

1. 若集合
，
，则集合
的真子集的个数为（ ）

A.7 B.8 C.15 D.16

2. 设复数
在复平面内对应的点关于虚轴对称，
，则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知函数
，则
的值不可能为（? ）

A．2016 B．0 C．-2 D．

4. 设等比数列
的公比
，前
项和为
，则
=（??? ）

A．5 B．7 C．8 D．15

5. 已知
是两条不重合的直线，
，
是两个不重合的平面，给出下列四个命题：其中正确命题的个数是（ ）

（1）若
，则
；

（2）
；

（3）若
,
,
,则
；

（4）若
是异面直线，

则
．

A.1 B.2

C.3 D.4

6. 在边长为2的等边三角形
中，点M在边AB上，且满足
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．4

7. 若输入a=110011，则输出结果是（ ）

A.51 B.49 C.47 D.45

8. 已知抛物线
的焦点为
，直线
与抛物线交于点
，
，则抛物线的标准方程是（ ）

A.
B.
C.
D.
或

9. 已知长方体
中，
，在四边形
内随机取一点
,则满足
的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 已知双曲线C：

的右焦点
，以
为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为
，且
与双曲线的实轴垂直，则C的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D． 2

11. 在
中，
是
中点，已知
，则
的形状为（ ）

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

12.已知函数
与
有
个交点，它们的横坐标之和为（ ）

A.0 B.2 C.4 D.8

13. 设a为非零常数，已知
的展开式中各项系数和为3，展开式中
项的系数是____________.

14. 在椭圆
上有两个动点
为定点，
，则
最小值为____________.

15. 已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三角形，俯视图是边长为
的等边三角形，侧视图是直角三角形，且三棱锥的外接球表面积为
，则三棱锥的高为 .

16. 已知数列
的前
项和为
，若存在
，使得
成立，则
的取值范围是 .

17． （本小题满分12分）函数
过点
，且当
时，

函数
取得最大值1.

将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
，求函数
的表达式;

在（1）的条件下，函数
，如果对于
，都有

，求
的最小值.

18. （本小题满分12分）以下为甲、乙两位同学在最近五次模拟考试中的数学成绩（单位：分）

甲

102

126

131

118

127



乙

96

117

120

119

135



（1）试判断甲、乙两位同学哪位同学的数学考试成绩更稳定？（不用计算，给出结论即可）

（2）若从甲、乙两位同学的数学考试成绩中各随机抽取2次成绩进行分析，设抽到的成绩中130分以上的次数为
，求随机变量
的分布列及数学期望.[:.]

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面四边形

是正方形，
，且

（1）求证：平面
；

（2）设
，当
为何值时直线
与平面
所成角的余弦值为
？

20. （本小题满分12分）已知

(1)求点
的轨迹
的方程；

(2)抛物线
以坐标原点为顶点，以轨迹
与
轴正半轴的交点
为焦点，过点
的直线与抛

物线
交于
两点，试判断坐标原点与以
为直径的圆的位置关系.

21. （本小题满分12分）已知函数
是极值点.

（1）求实数
的值;

（2）
.

22．(本小题满分10分).选修4-1几何证明选讲

如图所示，
是⊙
的直径，点
在⊙
上，
为⊙
的切线，过
作
的垂线，垂足为
，交⊙
于
.

(1) 求证:
为
的角平分线;[:.]

(2)过
作
的垂线，垂足为
，若⊙
的直径为8，且

，求
的值.

23. (本小题满分10分).选修4-4坐标系与参数方程

经过抛物线
外的点
，且倾斜角为
的直线
与抛物线
交于
两点，且


成等比数列.

（1）求抛物线
的方程;

（2）
为抛物线
上的两点，且
，求
的面积的最小值.

24（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲

已知函数
，若
的最小值为1.

（1）试求实数
的值；

（2）求证：
.

2016年三模理科数学答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



A

C

C

B

C

A

A

D

B

C

D

C





13、 -72

14、9

15、2

16、

17. （I）由题意
…………（1分）

将点
代入解得
，
…………（2分）

且

因为

所以
，…………（4分）

.…………（5分）

…………（7分）

（II）
，…………（9分）

周期
…………（10分）

所以
的最小值为
…………（12分）

18.解：（I）甲同学的数学考试成绩更稳定． …………（4分）

（II）
的取值为0.1.2，则…………（6分）

，
，
，…………（10分）

的分布列如下：

0

1

2



P









…………（11分）

∴
． …………（12分）

19. （Ⅰ）因为
，

所以
…………（2分）

又

所以
…………（4分）

（Ⅱ）取
，设

因为

，
⊥
，

所以
⊥
…………（6分）

以
为坐标原点，
方向为
轴，
方向为
轴，
方向为
轴，建立空间直角坐标系.

由题意
…………（7分）

得平面
的法向量为
…………（8分）

…………（9分）

则
，…………（10分）

…………（11分）

…………（12分）

20. （Ⅰ） 解：设

…………（1分）

所以
…………（2分）

又
…………（3分）

所以所求方程为
…………（4分）

（Ⅱ）轨迹
与
轴正半轴的交点
…………（5分）

抛物线
的方程为
…………（6分）

设
，
，设直线
的方程为

联立得
，

则
…………（8分）

…………（10分）

所以坐标原点在以
为直径的圆内…………（12分）

21. 解：（I）
…………（2分）

由题意因为
…………（3分

所以
…………（4分）

(II)
. …………（5分）

先证当
时，

令

.…………（6分）

所以
在（1，+∞）上单调递减

所以

所以当
时
.…………（8分）

所以
.…………（9分）

.…………（10分）

……………………12分

22. （Ⅰ）连接
，

由题意可知
∥
，…………（1分）

所以
…………（2分）

又
，所以
，…………（3分）

所以

所以原题得证. …………（4分）

（Ⅱ）由题意
. …………（4分）

.
…………（5分）

又

，

所以
≌
.. …………（6分）

所以
. …………（7分）

又
，. …………（8分）

而
. …………（9分）

所以
. …………（10分）

23. 解：(I)

直线
的参数方程是
（
）…………（1分）

代入抛物线方程得

所以
…………（2分）

…………（3分）

解得

所以抛物线方程为
…………（4分）

(Ⅱ) 抛物线的极坐标方程为
，…………（5分）

设
，

…………（6分）

…………（7分）

所以
…………（8分）

当
时，即
所求面积取得最小值4…………（10分）

24. 解析：(I)
, 当且仅当
时 取等号…………（2分）

所以
， …………（3分）

解得
…………（4分）

(Ⅱ) 因为
…………（5分）

所以
…………（7分）

所以
…………（9分）

所以原不等式得证. …………（10分）

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