丰台区2016年高三年级第二学期统一练习（二） 2016.5

高三数学（文科）

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项．

1. 复数
=

（A）
（B）
（C）
（D）

2.过点
且圆心为
的圆的方程是

（A）
（B）

（C）
（D）

3.在不等式组
表示的平面区域内任取一个点
，使得
的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

4.已知点
在抛物线
上，它到抛物线焦点的距离为5，那么点
的坐标为

（A）(4, 4)，（4，-4） （B）（-4,4），（-4,-4）

（C）（5，
），（5，
） （D）（-5，
），（-5，
）

5. 已知函数
的定义域为
，则“
是奇函数”是“
”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

6.将函数
的图象向左平移
个单位后与函数
的图象重合，则函数

为

（A）
（B）

（C）
（D）

7. 已知
，那么

（A）
（B）
（C）
（D）

8.下表为某设备维修的工序明细表，其中“紧后工序”是指一个工序完成之后必须进行的下一个工序.

工序代号

工序名称或内容

紧后工序



A

拆卸

B，C



B

清洗

D



C

电器检修与安装

H



D

检查零件

E，G



E

部件维修或更换

F



F

部件配合试验

G



G

部件组装

H



H

装配与试车





将这个设备维修的工序明细表绘制成工序网络图，如图，那么图中的1,2,3,4表示的工序代号依次为

（A）E，F，G，G （B）E，G，F，G

（C）G，E，F，F （D）G，F，E，F

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 已知向量
，则
_______.

10.已知双曲线
（
）的一条渐近线方程为
，则
= .

11.某产品广告费用x与销售额y（单位：万元）的统计数据如下表，根据下表得到回归方程=10.6x+a，则a=_________.

广告费用x

4

2

3

5



销售额y（万元）

49

26

39

58





12.当n＝3，x＝2时，执行如图所示的程序框图，

则输出的结果为____________.

13. 一个三棱柱被一个平面截去一部分，

剩下的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________________.

14. 某旅行达人准备一次旅行，考虑携带A，B，C三类用品，这三类用品每件重量依次为1kg，2kg，3kg，每件用品对于旅行的重要性赋值依次为2,2,4，设每类用品的可能携带的数量依次为
，且携带这三类用品的总重量不得超过11kg.当携带这三类用品的重要性指数
最大时，则
，
，
的值分别_____.

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足
．

（I）求角C的大小；

（Ⅱ）若
，
,求
的值.

16.（本小题共13分）

某校举办的数学与物理竞赛活动中，某班有36名同学，参加的情况如下表：（单位：人）

参加物理竞赛

未参加物理竞赛



参加数学竞赛

9

4



未参加数学竞赛

3

20



（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一科竞赛的概率；

（Ⅱ）在既参加数学竞赛又参加物理竞赛的9名同学中，有5名男同学
和4名女同学甲、乙、丙、丁.现从这5名男同学和4名女同学中各随机选1人，求
被选中且甲未被选中的概率.

17.（本小题共14分）

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C
底面ABC，AA1=A1C=AC=2，BC=1，且AC⊥BC，点D，E，F分别为AC，AB，A1C1的中点．

（Ⅰ）求证：A1D⊥平面ABC；

（Ⅱ）求证：EF∥平面BB1C1C；

（Ⅲ）写出四棱锥A1-BB1C1C的体积.

（只写出结论，不需要说明理由）

18.（本小题共13分）

已知
是各项为正数的等比数列，
,数列
的前n项和为
，
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式;

（Ⅱ）求证:对任意的
，数列
为递减数列.

19. （本小题共13分）

设函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间和极值；

（Ⅱ）若函数
在区间
上存在唯一零点，求
的取值范围.

20.（本小题共14分）

已知椭圆
:
过点（0，
），椭圆
上任意一点到两焦点的距离之和为4.

（Ⅰ）求椭圆
的方程;

（Ⅱ）如图，设直线
与椭圆
交于

两点，过点
作PC⊥
轴，垂足为点C，

直线AC交椭圆
于另一点B.

①用直线
的斜率
表示直线AC的斜率；

②写出∠APB的大小，并证明你的结论.

丰台区2016年高三年级第二学期数学统一练习（二）

数 学（文科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

B

C

A

A

D

C

A





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 5 10.
11.5.9 12.42 13.20 14 . 6,1,1

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（本小题共13分）

解：（I）由正弦定理得
， -----------------------------------2分

化简得
（因为
， -----------------------------------4分

因为
，所以
. -----------------------------------6分（Ⅱ）由余弦定理得
，-----------------------------------8分

化简得
, -----------------------------------10分

解得
，或
-----------------------------------12分

所求
的值为
. -----------------------------------13分

16．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）设“一名同学至少参加上述一科竞赛”为事件A， -----------------------------2分

由表可知，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的同学有9人；只参加数学竞赛的同学有4

人，只参加物理竞赛的同学有3人，因此至少参加一科竞赛的同学有16人. ---------4分

则
. ----------------------------6分

（Ⅱ）设“
被选中且甲未被选中”为事件B， ----------------------------7分

从5名男同学
和4名女同学甲、乙、丙、丁中各随机选
人，所有的选取情况有：

（a,甲），（a，乙），（a，丙），（a，丁），

（b,甲），（b，乙），（b，丙），（b，丁），

（c,甲），（c，乙），（c，丙），（c，丁），

（d,甲），（d，乙），（d，丙），（d，丁），

（e,甲），（e，乙），（e，丙），（e，丁）.

共计20种. ----------------------------11分

其中
被选中且甲未被选中的情况有：

（a，乙），（a，丙），（a，丁），共计3种. ----------------------------12分

则
. ----------------------------13分

17．（本小题共14分）

证明：

（Ⅰ）因为在△AA1C中，AA1=A1C，D为AC中点，

所以A1D⊥AC； --------------------2分

因为侧面AA1C1C
底面ABC， --------------------3分

侧面AA1C1C∩底面ABC= AC， --------------------4分

所以A1D⊥平面ABC； --------------------5分

（Ⅱ）设B1C1的中点为G，连结FG，GB， --------------------6分

在四边形FGBE中FG∥A1B1，且FG=A1B1，又因为EB∥A1B1，且EB=A1B1，

所以FG与EB平行且相等，所以四边形FGBE为平行四边形；

所以EF∥BG， --------------------8分

又因为BG在平面BB1C1C内，EF不在平面BB1C1C内， --------------------10分

所以EF∥平面BB1C1C. --------------------11分

（Ⅲ）四棱锥A1-BB1C1C的体积为. --------------------14分

18.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）设等比数列
的公比为
，则
， --------------------2分

解得
或
舍， --------------------4分

. 所以
. --------------------5分

证明:（Ⅱ）因为
， --------------------6分

所以
是以
为首项，以2为公差的等差数列. --------------------7分

所以
，
. --------------------8分

因为
--------------------9分

--------------------11分

因为
，所以
，

所以数列
为递减数列. --------------------13分

19.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）
， --------------------1分

（1）若
，则在区间
上
，
单调递增.所以当
时，
的单调递增区间为
，没有极值点. --------------------3分

（2）若
，令
，即
，解得
， --------------------4分

因为函数
在区间
是递增函数，

所以在区间
内
，
单调递减；在区间
内
,
单调递增.

所以当
时，
的单调递减区间为
，
的单调递增区间为
所以当
时，函数
有极小值为
. --------------------6分

（Ⅱ）

（1）当
时，由（Ⅰ）可知，
在
上单调递增，

因为
， --------------------8分

令
，得
.

所以当
时，
在区间上
上存在唯一零点. --------------------9分

（2）当
时，由（Ⅰ）可知，
为函数
的最小值点

因为
，若函数
在区间上
上存在唯一零点，则只能是：

，或②
. --------------------11分

由①得
；由②得
.

综上所述，函数
在区间上
上存在唯一零点，

则
或