2016年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（二）

数 学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．

3. 考试结束后，考生将答题卡交回.

第Ⅰ卷

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、集合
，集合
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.
的虚部为

A. 2 　　　　　 B. －2 　　　 C. －2
D. 2

3. 已知向量
，
，则
=（ ）

A.
B.
　 C. 2 D. 4

4. 下列函数中与
具有相同的奇偶性的是

A．
B．
C．
D．

5. 甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法

A、10　　　　　　　B、16　　　　　　　　

C、20　　　　　　　D、24

6、执行右图的程序框图，则输出的S＝（ ）

A. 21 　　B. 34

C. 55 　　　　 D. 89

7. 已知
，则
＝（ ）

A. 1 　　B. －1

C.
D.0

7. 如图，在长方体
中，点P是棱
上一点，则三棱锥
的左视图可能为（ ）

A B C D

9. 将函数

的图象向右平移
个单位后的图象关于
轴对称，则函数
在
上的最小值为（ ）

A.0 B.－1 C.
D.

10. 已知点
是双曲线
：
的右焦点10、已知双曲线C：
的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（　　）

且
与双曲线的实轴垂直，则双曲线
的离心率是 　A.
B.
C. 2 D.

11、已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD内接于半径为1的球，顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心，当四棱锥P－ABCD的体积最大时，四棱锥的高为

A、
　　　　B、1　　　　　C、
　　　D、

12、已知
，
给出下列四个命题：

①函数
有且只有三个零点；　　　　②函数
有且只有三个零点；

③函数
有且只有六个零点；　　　　④函数
有且只有一个零点；

其中正确命题的个数是

　A、1　　　　　　B、2　　　　C、3　　　　D、4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上）

13. 已知实数
满足
，则
的最大值为 .

14.F1，F2分别为椭圆
的左、右焦点，A为椭圆上一点，且
，

则
＝ .

15. 在一幢10m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为 m.

16.设
是一个非空集合，
是定义在
上的一个运算.如果同时满足下述四个条件：

　（ⅰ）对于
，都有
；

（ⅱ）对于
，都有
；

（iii）对于
，使得
；

（iv）对于
，使得
（注：“
”同（iii）中的“
”）.

则称
关于运算
构成一个群.现给出下列集合和运算：

①
是整数集合，
为加法；②
是奇数集合，
为乘法；③
是平面向量集合，
为数量积运算；④
是非零复数集合，
为乘法. 其中
关于运算
构成群的序号是___________（将你认为正确的序号都写上）.

三.解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分12分)

已知数列
满足
，且数列
的每一项加上1后成为等比数列。

（I）求
；

（II）令
，求数列
的前
项和
.

18.（本小题满分12分）

某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：

男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．

女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．

（I）求男生跳远成绩的中位数；

（II）如果用分层抽样的方法从男、女生中共抽取5人，求抽取的5人中女生人数；

（III）若从男、女生测试成绩“合格”的学生中选取2名参加复试，用
表示其中男生的人数，写出
的分布列，并求
的数学期望．

19、（本小题满分12分）

如图（1），在等腰梯形
中，
，
分别为
和
的中点，

且
，
，
为CE中点，现将梯形ABCD沿
所在直线折起，使平面
平面
，如图（2）所示，
是
的中点.

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

　　

20.（本小题满分12分）

曲线
上任意一点为A，点B（2,0）为线段AC的中点。

（I）求动点C的轨迹
的方程；

（II）过轨迹
的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆
＝1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由。

21. (本小题满分12分)

已知函数
，
.

（I）判断函数
在
上的单调性；

（II）证明：
，总有
.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

已知四边形
为
的内接四边形且
，其对角线
与
相交于点
，过点
作
的切线交
的延长线于点
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求证：
.

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

　　已知直线
的参数方程为
为参数
，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，且曲线
的左焦点
在直线
上.

　 （I）若直线
与曲线
交于
两点，求
的值；

（Ⅱ）设曲线
的内接矩形的周长的最大值.

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

　　已知
使得关于
的不等式
成立。

　　(I)求满足条件的实数
的集合
；

(Ⅱ)若
，且对于
，不等式
恒成立，试求
的最小值.

2016年二模理科数学答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

A

B

C

C

C

D

D

D

A

C

D





13、 4

14、

15、40

16、①④

17. （I）由题意数列
是等比数列，设公比为

，
…………（1分）

解得
…………（2分）

则数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，

所以
，…………（4分）

.…………（5分）

（II）
，…………（6分）

当
，…………（8分）

当
，…………（10分）

所以
…………（12分）

18.解：（I）男生跳远成绩的中位数
(cm)． …………（2分）

（II）用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是
， …………（4分）

根据茎叶图，女生18人，

∴抽取的女生有
（人）； …………（6分）

（III）依题意，男生、女生测试成绩合格的分别有8人、10人…………（7分）

的取值为0.1.2，则

，
，
，…………（10分）

的分布列如下：

0

1

2



P









…………（11分）

∴
． …………（12分）

19. （Ⅰ）连接
，
∥
…………（2分）

又
，

所以
∥
…………（4分）

（Ⅱ）由题意
⊥

，
⊥
，

所以
⊥
…………（6分）

以
为坐标原点，
方向为
轴，
方向为
轴，
方向为
轴，建立空间直角坐标系.

由题意
…………（7分）

得平面
的法向量为（1,1,2）…………（8分）

平面
的法向量为（1,-2,2）…………（9分）

设所求的二面角为

则
，…………（10分）

又所求二面角为锐角…………（11分）

所以求二面角的余弦值为
…………（12分）

20. （Ⅰ） 解：设

…………（1分）

所以
…………（2分）

又
…………（3分）

所以所求方程为
…………（4分）

（Ⅱ）假设存在点

设
，
，直线
的方程为

联立
，

得
，

则
…………（5分）

切线
的方程为

点
代入化简得

同理得

所以知
是方程
的两根…………（6分）

则

所以
，代入圆方程得
…………（7分）

所以存在点
…………（8分）

可得
…………（9分）

切线
的方程为

切线
的方程为
…………（10分）

所求面积为
…………（12分）

21. 解：（I）由题

…………（2分）

因为

所以
…………（3分）

所以函数
在
上单调递减…………（4分）

(II)
.

而
，…………（5分）

又因为
，所以
.…………（6分）

要证原不等式成立，只要证
，

只要证
，

只要证