哈尔滨师大附中

2016年高三第一次联合模拟考试

理科数学试卷



东北师大附中





辽宁省实验中学





本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．若集合
，
，则

A．

B．

C．2

D．



2．若复数z满足zi = 1 + i，则z的共轭复数是

A．-1 - i

B．1 + i

C．-1 + i

D．1 - i



3．若m = 6，n = 4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是

A．

B．100



C．10

D．1



4．已知向量a，b满足
，
，

A．-12

B．-20



C．12

D．20



5．若函数
，则
的值为

A．-10

B．10

C．-2

D．2



6．设
，若
，
，则p是q的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件



C．充要条件

D．既不充分也不必要条件



7．若点
在直线
上，则
的值等于

A．

B．

C．

D．



8．数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为

A．

B．



C．

D．



9．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表

x

165

160

175

155

170



y

58

52

62

43

60



根据上表可得回归直线方程为
，则

A．-96.8

B．96.8

C．-104.4

D．104.4



10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．

B．



C．13

D．



11．双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，
，线段F1N交双曲线C于点Q，且
，则双曲线C的离心率为

A．

B．2

C．

D．



12．已知定义在R上的奇函数
的图象为一条连续不断的曲线，
，
，且当0 < x < 1时，
的导函数
满足：
，则
在
上的最大值为

A．a

B．0

C．-a

D．2016



第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13．若实数x，y满足
，则
的最大值是__________。

14．已知三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA = 2，PB = PC = 1，则三棱锥P-ABC的内切球半径为__________。

15．已知圆
与抛物线
的准线交于A、B两点，且
，则m的值为__________。

16．已知ΔABC满足
，
，点M在ΔABC外，且MB = 2MC = 2，则MA的取值范围是__________。

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知数列
满足
，且
，
。

（1）求证：数列
是等比数列；

（2）若不等式
对
恒成立，求实数m的取值范围。

18．（本小题满分12分）

在某批次的某种日光灯管中，随机地抽取500个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布直方图如下。根据寿命将灯管分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯管是优等品，寿命小于300天的灯管是次品，其余的灯管是正品。

（1）根据这500个数据的频率分布直方图，求出这批日光灯管的平均寿命；

（2）某人从这个批次的灯管中随机地购买了4个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯管中优等品的个数，求X的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD中，∠ABC = 60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB = AE = 2。

（1）求证：BD⊥平面ACFE；

（2）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度。

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：
的离心率为
，且点
在C上。

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l经过点
，且与椭圆C有两个交点A、B，是否存在直线l0：x = x0（其中x0 > 2），使得A、B到l0的距离dA、dB满足
恒成立？若存在，求x0的值；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分12分）

已知函数
，曲线
在x = 1处的切线方程为
。

（1）求a，b的值；

（2）求函数
在
上的最大值；

（3）证明：当x > 0时，

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22．（本小题满分10分）

选修4 - 1：几何证明选讲

如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交⊙O于点C、D。设⊙O的半径是r，OM = m。

（1）证明：
；

（2）若r = 3m，求
的值。

23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y = 8，圆C的参数方程是
（φ为参数）。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求直线l和圆C的极坐标方程；

（2）射线OM：θ = α（其中
）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：
与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求
的最大值。

24．（本小题满分10分）

选修4 - 5：不等式选讲

已知函数
，不等式
的解集为
。

（1）求实数m的值；

（2）若关于x的不等式
恒成立，求实数a的取值范围。

2016年东北三省三校第一次高考模拟考试

理科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

D

A

C

B

B

B

A

C

D

C



（注：11题∵e > 4，∴D选项也不正确，此题无答案。建议：任意选项均可给分）

二、填空题

13．2

14．

15．8

16．3



三、解答题

17．解：（1）证明：∵
……3分

， 所以数列
是以1为首项，以3为公比的等比数列；….6分

（Ⅱ）解：由（1）知，
，由
得
，即
，…9分

设
，所以数列
为减数列，
，

…….12分

18解：（Ⅰ）平均数为

………….4分

（Ⅱ）
的所有取值为
． ……….5分

由题意，购买一个灯管，且这个灯管是优等品的概率为
，且

所以
，

，

，

，

．

以随机变量
的分布列为：

0

1

2

3



4

















……………………….10分

所以
的数学期望
．…….12分

19.（Ⅰ）证明：
四边形
是菱形，

.

平面
,
平面

.

,

平面
.………….4分

（Ⅱ）解：如图以
为原点，
为
轴正向，
轴过
且平行于
，建立空间直角坐标系.则

，
.…………6分

设平面
的法向量为
，

则有
，即
令
，
.…………8分

由题意
解得
或
.

由
，得
. …….12分

20. 解：

（Ⅰ）由题意得
解得
所以
的方程为
.

…….4分

（Ⅱ）存在
.当
时符合题意.

当直线
斜率不存在时，
可以为任意值.

设直线
的方程为
,点
,
满足：

所以
,
满足
,即
.

所以
………8分

不妨设

，

因为

从而
.整理得
，即
.

综上，
时符合题意.…….12分

21.解：（Ⅰ）
，由题设得，
，
，

解得，
． …….4分

（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）知，
，

故
在
上单调递增，所以，
．

法2：由（Ⅰ）知，
，

在
上单调递减，在
上单调递增，

所以，
，

所以，
在
上单调递增，所以，
． …….7分

（Ⅲ）因为
，又由（Ⅱ）知，
过点
，且
在
处的切线方程为
，故可猜测：当
时，
的图象恒在切线
的上方．

下证：当
时，
．

设
，则
，

由（Ⅱ）知，
在
上单调递减，在
上单调递增，

又
，

所以，存在
，使得
，

所以，当
时，
；当
，
，

故
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．

又
，当且仅当
时取等号．

故
．

由（Ⅱ）知，
，故
，当且仅当
时取等号．

所以，
．

即
．所以，
，

即
成立，当
时等号成立． …….12分

22. 解：（Ⅰ）作
交
于点
，作
交
于点
.

因为
，
，

所以
.

从而

.

故
……5分

（Ⅱ）因为
，
，

所以
.

因为

所以
.

又因为
，所以
． …………….10分

23.解：（Ⅰ）直线
的极坐标方程分别是
.

圆
的普通方程分别是
，

所以圆
的极坐标方程分别是
. …….5分

（Ⅱ）依题意得，点
的极坐标分别为
和

所以
，
，

从而
.

同理，
.

所以

，

故当
时，
的值最大，该最大值是
. …10分

24.解 ：（Ⅰ）由已知得
，得
，即
…… 5分

（Ⅱ）
得
恒成立

（当且仅当
时取到等号）

解得
或

故
的取值范围为
或
…… 10分

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