哈尔滨师大附中

2016年高三第一次联合模拟考试

文科数学试卷



东北师大附中





辽宁省实验中学





本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．若集合
，
，则

A．

B．

C．2

D．



2．若复数z满足zi = 1 + i，则z的共轭复数是

A．-1 - i

B．1 + i

C．-1 + i

D．1 - i



3．若m = 6，n = 4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是

A．

B．100



C．10

D．1



4．已知向量a，b满足
，
，

A．-12

B．-20



C．12

D．20



5．若函数
，则
的值为

A．-10

B．10

C．-2

D．2



6．设
，若
，
，则p是q的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件



C．充要条件

D．既不充分也不必要条件



7．若点
在直线
上，则
的值等于

A．

B．

C．

D．



8．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表

x

165

160

175

155

170



y

58

52

62

43

60



根据上表可得回归直线方程为
，则

A．-104.4

B． 104.4

C．-96.8

D．96.8



9．若函数
为偶函数，则函数
在区间
上的取值范围是

A．

B．

C．

D．



10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．

B．



C．13

D．



11．双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，
，线段F1N交双曲线C于点Q，且
，则双曲线C的离心率为

A．

B．2

C．

D．



12．在平面直角坐标系xOy中，已知
，
，则
的最小值为

A．1

B．2

C．3

D．4



第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13．若实数x，y满足
，则
的最大值是__________。

14．已知三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA = 2，PB = PC = 1，则三棱锥P-ABC外接球的体积为__________。

15．已知圆
与抛物线
的准线交于A、B两点，且
，则m的值为__________。

16．已知ΔABC为等边三角形，点M在ΔABC外，且MB = 2MC = 2，则MA的最大值是__________。

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知数列
满足
，且
，
。

（1）求证：数列
是等比数列；

（2）若不等式
对
恒成立，求实数m的取值范围。

18．（本小题满分12分）

某游戏网站为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示。

（1）求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；

（2）若已从年龄在
，
的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，AD = 2，BD = 4，点M、N分别为BD、BC的中点，将其沿对角线BD折起成四面体QBCD，使平面QBD⊥平面BCD，P为QC的中点。

（1）求证：PM⊥BD；

（2）求点D到平面QMN的距离。

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：
的离心率为
，右顶点
。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点
的直线l交椭圆于B、D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2。求证：k1k2为定值，并求此定值。

21．（本小题满分12分）

已知函数
，
。

（1）若
为曲线
的一条切线，求实数a的值；

（2）已知a < 1，若关于x的不等式
的整数解只有一个x0，求实数a的取值范围。

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22．（本小题满分10分）

选修4 - 1：几何证明选讲

如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交⊙O于点C、D。设⊙O的半径是r，OM = m。

（1）证明：
；

（2）若r = 3m，求
的值。

23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y = 8，圆C的参数方程是
（φ为参数）。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求直线l和圆C的极坐标方程；

（2）射线OM：θ = α（其中
）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：
与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求
的最大值。

24．（本小题满分10分）

选修4 - 5：不等式选讲

已知函数
，不等式
的解集为
。

（1）求实数m的值；

（2）若关于x的不等式
恒成立，求实数a的取值范围。

2016年东北三省三校第一次高考模拟考试

文科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

D

A

C

B

A

C

A

C

D

B



（注：11题∵e > 4，∴D选项也不正确，此题无答案。建议：任意选项均可给分）

二、填空题

13．2

14．

15．8

16．



三、解答题

17.（Ⅰ）证明：
， ………………………….3分

，

所以数列
是以1为首项，以3为公比的等比数列；………………………….6分

（Ⅱ）解：由（1）知，
，由
得
，即
，……………………9分

设
，所以数列
为减数列，
，

…………………………. 12分

18.解：（Ⅰ）各组年龄的人数分别为10,30,40,20人 ………………………….4分

估计所有玩家的平均年龄为
岁…………………………6分

（Ⅱ）在
的人数为4人，记为
；在
的人数为2人，记为
.所以抽取结果共有15种，列举如下：

，
……………………9分

设“这两人在不同年龄组”为事件
，事件
所包含的基本事件有8种，则

这两人在不同年龄组的概率为
. ………………………….12分

19.解：（Ⅰ）
平面
平面
, QD⊥BD，平面
平面
，
QD⊥平面BCD，

同理
…………………………3分

P是QC的中点．
又M是DB的中点

∴PM⊥BD. …………………………6分

（Ⅱ）
QD⊥平面BCD，QD＝BC＝2，AB＝4，M，N，P分别是DB、BC、QC的中点．

又
…………………………9分

设点D到平面QMN的距离为

所以点D到平面QMN的距离
…………………………12分

20. 解: （Ⅰ）由题意得
解得
所以
的方程为
.…………………………4分

（Ⅱ）由题意知直线
斜率不为0，可设直线
方程为
，与
联立

得
，
设
，

则
………………………… 8分

，

．

为定值，定值为
…………………………12分

21. 解：（Ⅰ）函数
的定义域为R，
，

设切点
，则切线的斜率
，

∴切线为：
，

恒过点
，斜率为a，且为
的一条切线，

，

，由
，得
或
…………………………4分

（Ⅱ）令
，
，
，

当
时，
，
，
，

又
，
，
，

，
，则存在唯一的整数
使得
，即
；6分

当
时，为满足题意，
上不存在整数使
，

即
上不存在整数使
，

，
，…………………………8分

①当
时，
，
，

∴当
时，
，得
，

；…………………………10分

②当
时，
，不符合题意．…………………………11分

综上所述，
．…………………………12分

22解：（Ⅰ）作
交
于点
，作
交
于点
.

因为
，
，

所以
.

从而

.

故
. …………………………5分

（Ⅱ）因为
，
，所以
.

因为

所以
.

又因为
，

所以
．…………………………10分

23.解：（Ⅰ）直线
的极坐标方程分别是
.

圆
的普通方程分别是
，

所以圆
的极坐标方程分别是
. …….5分

（Ⅱ）依题意得，点
的极坐标分别为
和

所以
，
，

从而
.

同理，
.

所以

，

故当
时，
的值最大，该最大值是
. …10分

24.解 ：（Ⅰ）由已知得
，得
，即
…………………………5分

（Ⅱ）
得
恒成立

（当且仅当
时取到等号）

解得
或

故
的取值范围为
或
………………………….10分

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