闵行区2015-2016学年第二学期高三年级质量调研考试

数 学 理试 卷

考生注意：

1．本试卷共4页，23道试题，满分150分。考试时间120分钟。

2．本考试分设试卷和答题纸。试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题。

3．答卷前，务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。

4．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．函数
的定义域是 .

2．集合
，
，则
等于 .

3．若复数
（
为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数
的值为 .

4．已知函数
，则
.

5．若一个圆锥的母线长是底面半径的
倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍.

6．平面向量
与
的夹角为
，
，
，则
.

7．已知
的周长为
，且
，则
边的长为 .

8．若
的展开式中的
项大于
，且
为等比数列
的公比，

则
.

9．若
，
，
，且
（
）的最小值为
，则
.

10．若以
轴正方向为始边，曲线上的点与圆心的连线为终边的角
为参数，则圆
的参数方程为 .
（
）

11．若
是圆
的任意一条直径，
为坐标原点，则
的值为 ．

12．在极坐标系中，从四条曲线
，
（
），
，
中随机选择两条，记它们的交点个数为随机变量
，则随机变量
的数学期望
= .

13．设数列
的前
项和为
，
（
），则使得
（
）恒成立的
的最大值为 .

14． (理科）若两函数
与
的图像有两个交点
、
，
是坐标原点，
是锐角三角形，则实数
的取值范围是 .

二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．如果
，那么下列不等式中正确的是（ ）.

(A)
(B)
(C)
(D)

16．若
是两条直线，
平面
，则“
”是“
”的（ ）.

(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件

(C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件

17．如图，在正方体
中，
是
的中点，
为底面
内一动点，设
与底面
所成的角分别为
（
均不为

．若
，则动点
的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）.

(A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线

18．将函数
的图像向右平移
（
）个单位后得到函数
的图像 ．若对满足
的
，有
的最小值为
．则
（ ）.

（A）
(B)
（C）
或
(D)
或

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分）

复数
，
（其中
，
为虚数单位）. 在复平面上，复数
、
能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．

如图，在直角梯形
中，
，
，
，点
是
的中点，现沿
将平面
折起，设
．

（1）当
为直角时，求异面直线
与
所成角的大小；

（2）当
为多少时，三棱锥
的体积为
．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．

为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型
：

以
表示第
个时刻进入园区的人数；

以
表示第
个时刻离开园区的人数．

设定以
分钟为一个计算单位，上午
点
分作为第
个计算人数单位，即
；
点
分作为第
个计算单位，即
；依次类推，把一天内从上午
点到晚上
点
分分成
个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．

（1）试计算当天
点至
点这一小时内，进入园区的游客人数
、离开园区的游客人数
各为多少？

（2）从
点
分（即
）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．

已知椭圆
：

的右焦点与短轴两端点构成一个面积

为
的等腰直角三角形，
为坐标原点．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设点
在椭圆
上，点
在直线
上，且
，

求证：
为定值；

（3）设点
在椭圆
上运动，
，且点
到直线
的距离为常数

，求动点
的轨迹方程．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．

已知
,数列
、
满足:
,
,记
．

（1）若
，
，求数列
、
的通项公式；

（2）证明：数列
是等差数列；

（3）定义
，证明：若存在
，使得
、
为整数，且
有两个整数零点，则必有无穷多个
有两个整数零点．

参考答案与评分标准

一、填空题（第1题至第14题）每题正确得4分，否则一律得0分．

1．
； 2．
； 3．
；

4．
； 5．
； 6．
；

7．
； 8．
； 9．
；

10．
（
）、 11．
； 12．

13．
14．
、

二. 选择题（第15题至18题）每题正确得5分，否则一律得0分．

15．D； 16．C； 17．B； 18． C

三、解答题（第19题至23题）

19.（本题满分12分）

解：设复数
，
能表示同一个点，则
……………………3分

解得
或
， ………………………………7分

当
时，得
，此时
； ……………9分

当
时，得
，此时
； ……………11分

综上，复平面上该点表示的复数为
或
． ……………12分

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．

解：理:（1）当
为直角时,即
两两互相垂直，以点
为坐标原点，
为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分

则
,
,
……3分

设异面直线
与
所成角为
,则

………………5分

故异面直线
与
所成角为
．…7分

（2）
沿
将平面
折起的过程中，始终

有
，
，
，由

得 ……………………9分

，
……………………12分

或
． ……………………………14分

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．

解：（1）当天
点至
点这一小时内进入园区人数为

（人） …………………3分

离开园区的人数
（人）