长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届第二学期高三教学质量检测

数学试卷（理科） 2016.04.

（满分150分，考试时间120分钟）

考生注意：

1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．

2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．

3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上．

一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1．设集合
，
，则
_________．

2．已知
为虚数单位，复数
满足
，则
__________．

3．设
且
，若函数
的反函数的图像经过定点
，则点
的坐标

是___________．

4．计算：
__________．

5．在平面直角坐标系内，直线

，将
与两条坐标轴围成的封闭图形绕
轴

旋转一周，所得几何体的体积为___________．

6．已知
，
，则
_____________．

7．设定义在
上的奇函数
，当
时，
，则不等式
的

解集是__________________．

8．在平面直角坐标系
中，有一定点
，若线段
的垂直平分线过抛物线

（
）的焦点，则抛物线
的方程为_____________．

9．曲线
（
为参数）与曲线
（
为参数）的公共点的坐标为____________．

10．记

）的展开式中第
项的系数为
，若
，则
________．

11．从所有棱长均为
的正四棱锥的
个顶点中任取
个点，设随机变量
表示这三个点所

构成的三角形的面积，则其数学期望
_________．

12．已知各项均为正数的数列
满足
（
），则

___________．

13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有
道选择题，每题均有
个选项，答对得
分，答错或不答得
分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有
道题的选项不同，如果甲最终的得分为
分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．

14．已知
，函数
（
）的图像的两个端点分别为
、
，设
是函数
图像上任意一点，过
作垂直于
轴的直线
，且
与线段
交于点
，若
恒成立，则
的最大值是_________________．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

15．“
”是“
”的（ ）．

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

16．下列命题正确的是（ ）．

（A）若直线
∥平面
，直线
∥平面
，则
∥
；

（B）若直线
上有两个点到平面
的距离相等，则
∥
；

（C）直线
与平面
所成角的取值范围是
；

（D）若直线

平面
，直线

平面
，则
∥
.

17．已知
，
是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
满足
，则

的最大值是（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

18．已知函数
若存在实数
，
，
，
满足

，其中
，则
的取值范围是

（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

如图，在直三棱柱
中，底面△
是等腰直角三角形，
，
为侧棱
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）求二面角
的大小（结果用反三角

函数值表示）．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数
（
，
），且函数
的最小正周期为
．

（1）求函数
的解析式；

（2）在△
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，若
，
，且
，求
的值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

定义在
上的函数
，如果满足：对任意
，存在常数
，都有
成立，则称
是
上的有界函数，其中
称为函数
的上界．

（1）设
，判断
在
上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出
的所有上界
组成的集合；若不是，也请说明理由；

（2）若函数
在
上是以
为上界的有界函数，求实数
的取值范围．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

如图，设
是椭圆
的下焦点，直线
（
）与椭圆相交于
、
两点，与
轴交于
点．

（1）若
，求
的值；

（2）求证：
；

（3）求△
面积的最大值．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知正项数列
，
满足：对任意
，都有
，
，
成等差数列，
，
，
成等比数列，且
，
．

（1）求证：数列
是等差数列；

（2）求数列
，
的通项公式；

（3）设
，如果对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

二模理科数学参考答案

一．填空题

1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．

8．
9．
10．
11．
12．

13．{48，51，54，57，60} 14．

二．选择题

15．B 16．D 17．C 18．B

三．解答题

19．（1）因为底面△
是等腰直角三角形，且
，所以，
，（2分）

因为
平面
，所以
， ………………………………………（4分）

所以，
平面
． ……………………………………………………（5分）

（2）以
为原点，直线
，
，
为
，
，
轴，建立空间直角坐标系，

则
，
，
，
，
，
，

由（1），
是平面
的一个法向量， ………………………（2分）

，
，设平面
的一个法向量为
，则有

即
令
，则
，
，

所以
， …………………………………………（5分）

设
与
的夹角为
，则
， …………………（6分）

由图形知二面角
的大小是锐角，

所以，二面角
的大小为
． ……………………………（7分）

20．（1）
， ………………（3分）

又
，所以，
， ………………………………………………（5分）

所以，
． …………………………………………………（6分）

（2）
，故
，

所以，
或
（
），

因为
是三角形内角，所以
．……（3分）

而
，所以，
， …………………………（5分）

又
，所以，
，所以，
，

所以，
． …………………………………（8分）

21．（1）
，则
在
上是增函数，故
，

即
， ……………………………………………（2分）

故
，所以
是有界函数． ……………………………………………（4分）

所以，上界
满足
，所有上界
的集合是
． ……………………（6分）

（2）因为函数
在
上是以
为上界的有界函数，故
在
上恒成立，即
，所以，
（
）， ……（2分）

所以
（
），

令
，则
，故
在
上恒成立，

所以，
（
）， ………………………（5分）

令
，则
在
时是减函数，所以
；（6分）

令
，则
在
时是增函数，所以
．…（7分）

所以，实数
的取值范围是
． ……………………………………（8分）

22.（1）由
得
，所以△
，

设
，
，则
，
， ………………（2分）

因为
，所以
，代入上式求得
。 ………………………（4分）

（2）由图形可知，要证明
，