长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届第二学期高三年级教学质量检测

数学试卷（文科） 2016.04.

（满分150分，考试时间120分钟）

考生注意：

1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．

2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．

3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上．

一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1．设集合
，
，则
_________．

2．已知
为虚数单位，复数
满足
，则
__________．

3．设
且
，若函数
的反函数的图像经过定点
，则点
的坐标

是___________．

4．计算：
__________．

5．在平面直角坐标系内，直线

，将
与两条坐标轴围成的封闭图形绕
轴

旋转一周，所得几何体的体积为___________．

6．已知
，
，则
_____________．

7．设定义在
上的偶函数
，当
时，
，则不等式
的

解集是__________________．

8．在平面直角坐标系
中，有一定点
，若线段
的垂直平分线过抛物线

（
）的焦点，则抛物线
的方程为_____________．

9．已知
、
满足约束条件
则
的最小值为____________．

10．已知在
（
为常数）的展开式中，
项的系数等于
，则
_____________．

11．从棱长为
的正方体的
个顶点中任取
个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于
的概率是______________．

12．已知数列
满足
（
），

则
__________．

13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有
道选择题，每题均有
个选项，答对得
分，答错或不答得
分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有
道题的选项不同，如果甲最终的得分为
分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．

14．对于函数
，其中
，若
的定义域与值域相同，则非零实数

的值为_____________．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

15．“
”是“
”的（ ）．

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

16．下列命题正确的是（ ）．

（A）若直线
∥平面
，直线
∥平面
，则
∥
；

（B）若直线
上有两个点到平面
的距离相等，则
∥
；

（C）直线
与平面
所成角的取值范围是
；

（D）若直线

平面
，直线

平面
，则
∥
.

17．已知
，
是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
满足
，则

的最大值是（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

18．已知直线
：
与函数
的图像交于
、
两点，设
为坐标原点，记

△
的面积为
，则函数
是（ ）．

（A）奇函数且在
上单调递增 （B）偶函数且在
上单调递增

（A）奇函数且在
上单调递减 （D）偶函数且在
上单调递减

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

如图，在直三棱柱
中，底面△
是等腰直角三角形，
，
为侧棱
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）求异面直线
与
所成角的大小（结果用

反三角函数值表示）．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数
（
）．

（1）写出函数
的最小正周期和单调递增区间；

（2）在△
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，若
，
，且
，求
的值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

定义在
上的函数
，如果满足：对任意
，存在常数
，都有
成立，则称
是
上的有界函数，其中
称为函数
的上界．

（1）设
，判断
在
上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出
的所有上界
的集合；若不是，也请说明理由；

（2）若函数
在
上是以
为上界的有界函数，求实数
的取值范围．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

设椭圆
：
（
）的右焦点为
，短轴的一个端点
到
的距离等于焦距．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）设
、
是四条直线
，
所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，
是椭圆
上任意一点，若
，求证：
为定值；

（3）过点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
、
，且满足△
与△
的面积的比值为
，求直线
的方程．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知数列
、
满足：
，
，
．

（1）求
，
，
，
；

（2）求证：数列
是等差数列，并求
的通项公式；

（3）设
，若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．

文科数学参考答案

一．填空题

1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．

8．
9．
10．
11．
12．

13．
14．

二．选择题

15．B 16．D 17．C 18．B

三．解答题

19．（1）因为底面△
是等腰直角三角形，且
，所以，
，（2分）

因为
平面
，所以
， ………………………………………（4分）

所以，
平面
． ……………………………………………………（5分）

（2）取
点
，连结
、
，则
∥

所以，
就是异面直线
与
所成角（或其补角）． …………………（2分）

解法一：由已知，
，
，所以
平面
，所以△
是直角三角形，且
， …………………………………………（4分）

因为
，
，所以，
， ……………………（6分）

所以，异面直线
与
所成角的大小为
． …………………………（7分）

解法二：在△
中，
，
，
，

由余弦定理得，

． ……………（6分）

所以，异面直线
与
所成角的大小为
． ……………………………（7分）

20．（1）
， …………………………………………（3分）

所以，
的最小小正周期
， …………………………………………（4分）

的单调递增区间是
，
． ……………………………（6分）

（2）
，故
，

所以，
或
（
），

因为
是三角形内角，所以
． …………………………（3分）

而
，所以，
， …………………………（5分）

又
，所以，
，所以，
，

所以，
． …………………………………（8分）

21．（1）
，则
在
上是增函数，故
，

即
， ……………………………………………（2分）

故
，所以
是有界函数． ……………………………………………（4分）

所以，上界
满足
，所有上界
的集合是
． ……………………（6分）

（2）由题意，
对
恒成立，

即
， ……………………………………………（1分）

令
，则
，原不等式变为
，

故
， 故
， ……………………（3分）

因为
在
上是增函数，故
， …………………（5分）

又
在
上是减函数，故
． ………………………（7分）

综上，实数
的取值范围是
． ………………………（8分）

22．（1）由已知，
， …………………………………………………（1分）

又
，故
， ………………………………………………（2分）

所以，
，所以，椭圆
的标准方程为
． ……………（4分）

（2）
，
， ………………………………………………（1分）

设
，则
，

由已知
，得
……………………（4分）

所以，
，即
为定值． ……………（6分）

（3）
等价于