杨浦区2015学年度第二学期高三年级学业质量调研

数学理 2016.04.12

一、填空题

1.函数
的定义域为 .

2.已知线性方程组的增广矩阵为
，若该线性方程组的解为
，则实数a= .

3.计算
= .

4.若向量
、
满足
，且
与
的夹角为
，则
.

5.若复数
，其中i是虚数单位，则复数
的虚部为 .

6.
的展开式中，常数项为 .

7.已知
的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若
，则角C的大小是 .

8.已知等比数列
的各项均为正数，且满足：
，则数列
的前7项之和为 .

9.在极坐标系中曲线C：
上的点到
距离的最大值为 .

10.袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以
表示取到球中的最大号码，则
的数学期望是 .

11.已知双曲线
的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足
，则
.

12.现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有 .（用数字作答）

13.若关于x的方程
在
内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为 .

14.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为
，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于 .

二、选择题

15.下列函数中，既是奇函数，又在区间
上递增的是（ ）

A.
B.
C.
D.

16.已知直线l的倾斜角为
，斜率为k，则“
”是“
”的（ ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

17.设x,y,z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）

A.
B.

C.
D.

18.已知命题：“若a,b为异面直线，平面
过直线a且与直线b平行，则直线b与平面
的距离等于异面直线a,b之间的距离”为真命题.

根据上述命题，若a,b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a,b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（ ）

A0条 B.1条 C.多于1条，但为有限条 D.无数多条

三、解答题

19.如图，底面是直角三角形的直三棱柱
中，
，D是棱
上的动点.

(1)证明：
；

(2)求三棱锥
的体积.

20.某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB,现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB(假设OM、ON这两面墙都足够长).已知|PA|=|PB|=10

(米),
,
.设
，四边形OAPB的面积为S.

(1)将S表示为
的函数，并写出自变量
的取值范围；

(2)求出S的最大值，并指出此时所对应
的值.

21.已知函数
，其中
.

(1)根据a的不同取值，讨论
的奇偶性，并说明理由；

(2)已知a>0，函数
的反函数为
，若函数
在区间
上的最小值为
，求函数
在区间
上的最大值.

22.已知椭圆C：
的焦距为
，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线l与椭圆C交于
、
，且在椭圆C上存在点M，使得：
（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；(3)求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H.

23.已知数列
和
满足：
,且对一切
,均有
.

(1)求证：数列
为等差数列，并求数列
的通项公式；

(2)若
，求数列
的前n项和
；

(3)设
，记数列
的前n项和为
，问：是否存在正整数
，对一切
，均有
恒成立.若存在，求出所有正整数
的值；若不存在，请说明理由.

19、（1）证明：因为直三棱柱
中，CC1⊥平面ABC，所以，CC1⊥BC，

又底面ABC是直角三角形，且AC＝BC＝1，所以AC⊥BC，

又
＝C，所以，BC⊥平面ACC1A1，所以，BC⊥DC1

（2）
＝

20（1）在三角POB中，由正弦定理，得：

，得OB＝10（
）

所以，S＝
＝
，

（2）S＝
＝

＝
＝

所以，

21、（1）当a＝－
时，
，定义域为R，

＝
＝
＝
，偶函数。

22、（1）
，所以
，

又右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，所以，

因为
，解得：
，

所以，椭圆方程为：
＝1

23、（1）证明：由
，两边除以
，得

，即
，

所以，数列
为等差数列

，所以，

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