2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

高三数学　文科试卷 　 　 2016.4

填空题：(本题满分56分，每小题4分)

1．抛物线
的焦点坐标是_____________.

2．若集合
，则
=_______________．

3．若
是直线
的一个方向向量，则
的倾斜角的大小为________________（结果用反三角函数值表示）．

4．若复数
满足
其中
为虚数单位，则
________________．

5．求值：
=________________弧度．

6．已知
，设
，则实数
=__________________．

7．函数
的最小值=__________________．

8．试写出
展开式中系数最大的项________________．

9．已知三个球的表面积之比是
，则这三个球的体积之比为________________．

10．已知实数
满足
，则目标函数
的最大值为 ．

11．若不等式
的解集为
，则
＝_________．

12．从集合
中任取两个数，欲使取到的一个数大于
另一个数小于
（其中
的概率是
则
__________________．

13．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：

“在
中，角A，B，C所对的边分别为
已知
______________，求角
．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示
试将条件补充完整．

14．定义在
上的奇函数
当
时，

则关于
的函数
的所有零点之和为________________（结果用
表示）．

选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15．已知非零向量
、
，“函数
为偶函数”是“
”的-------（ ）

（A） 充分非必要条件 （B） 必要非充分条件

（C） 充要条件 （D）既非充分也非必要条件

16．如图所示的几何体的左视图是----------------------------------------------（ ）

17．函数y=
的反函数是------------------------------------------------------------------（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

18．设
、
是关于
的方程
的两个不相等的实数根，那么过两点
、
的直线与圆
的位置关系是----------------------------( )

（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）随
的变化而变化

解答题：（本大题共5题，满分74分）

19．（本题满分12分）

在直三棱柱
中，
，
，且异面直线
与
所成的角等于
，设
．求
的值和三棱锥
的体积．

20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）

已知函数
．

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）将函数
图像向右平移
个单位后，得到函数
的图像，求方程
的解.

21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）

已知函数
．

（1）若不等式
的解集为
，求
的值；

（2）在（1）的条件下，若存在
使
，求
的取值范围．

22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）

已知椭圆
的右焦点为
，且点
在椭圆
上．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）当点
在椭圆
的图像上运动时，点
在曲线
上运动，求曲线
的轨迹方程，并指出该曲线是什么图形；

（3）过椭圆
上异于其顶点的任意一点
作曲线
的两条切线，切点分别为
不在坐标轴上），若直线
在
轴，
轴上的截距分别为
试问：
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）

按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：
；即3，5，第三行是：
即4，6，6，8；（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）

2

3,5

4,6,6,8

5,7,7,9,7,9,9,11

……………………………………

若第
行所有的项的和为
．

（1）求
；

（2）试求
与
的递推关系，并据此求出数列
的通项公式；

（3）设
，求
和
的值．

2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

数学学科（文科）参考答案及评分标准 　 　 2016.4

填空题：(本题满分56分，每小题4分)

１．
　　　 ２．
　　　3．
　 4．
　　　5．

6．2　 7．
　　　　8．
　　　9．

10．
　 11．
　　12．4或7 13．
14．

二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15．C　　　16．B　　　17．B　　　18．C

解答题：（本大题共5题，满分74分）

19．（本题满分12分）

【解答】

，

就是异面直线
与
所成的角，

即
，
--------------4分

连接
，

则三棱锥
的体积等于三棱锥
的体积，
--------8分

的面积
， 又
平面
，

所以
，所以
．-------------------------------------------（1２分）

另解：由于顶点
到平面
的距离与顶点
到平面
的距离相等

所以
．

20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）

【解答】（1）
， --------------3分

由
得：

的单调递增区间是

；--6分

（2）由已知，
， -------------10分

由
，得
，

，
. -----------------------14分

21．（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）

【解答】（1）
即

即
-----------------------------------------3分

----------------------------------------------------------------------6分

（2）
时，

若存在
使
即
---------------------8分

则
-----------------------------------------------------------------10分

当
时等号成立
即
----------------------------------------14分

22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）

【解答】（1）由题意得，
所以

又点
在椭圆
上，所以
解得

所以椭圆
的标准方程为
----------------------------------------3分

（2）设
，则
，于是
，--------------------5分

由于点
在椭圆
的图像上，

所以
即

整理得
，--------------------------------------------------------------7分

所以曲线
的轨迹方程为

曲线
的图形是一个以坐标原点为圆心，
为半径的圆。-------------8分

（3）由（1）知，
设点

则直线
的方程为
①

直线
的方程为
②-------------------------------------10分

把点
的坐标代入①②得

所以直线
的方程为
-----------------------------------------13分

令
得
令
得

所以
又点
在椭圆
上，

所以
即
为定值．--------------------------16分

23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）

【解答】（1）
-------------------------------------------------２分

．---------------------------------------------------------------------------4分

（2）由题意，第
行共有
项，

于是有
---------------------8分

等式两边同除
，得
，

即
为等差数列，公差为
，首项为

所以
，即
．----------------------------------------11分

（3）因为

----------------------------------------------------------------------14分

所以

所以
，---------------16分

．---------------------------------------------------------------------------18分

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