2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

高三数学　理科试卷 　 　 2016.4

填空题：(本题满分56分，每小题4分)

1．抛物线
的焦点坐标是_____________.

2．若集合
，则
=_______________．

3．若复数
满足
其中
为虚数单位，则
________________．

4．求值：
=________________弧度．

5．试写出
展开式中系数最大的项________________．

6．若函数
的最小值为
，最大值为
，则
＝_________．

7．在极坐标系中，点
关于直线
的对称点的坐标为________________．

8．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机量
表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望
_______________．（结果用最简分数表示）

9．已知平面上三点A、B、C满足|
|=
,|
|=
，|
|=
，则

的值等于_______________．

10．从集合
中任取两个数，欲使取到的一个数大于
另一个数小于
（其中
的概率是
则
__________________．

11．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：

“在
中，角
所对的边分别为
已知
______________，求角
．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示
试将条件补充完整．

12．在等差数列
中，首项
公差
若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________．

13．定义在
上的奇函数
当
时，

则关于
的函数
的所有零点之和为________________（结果用
表示）．

14．对于给定的正整数
和正数
，若等差数列
满足
，则

的最大值为__________________．

选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15．已知非零向量
、
，“函数
为偶函数”是“
”的----------（ ）

（A） 充分非必要条件 （B） 必要非充分条件

（C） 充要条件 （D） 既非充分也非必要条件

16．函数y=
的反函数是------------------------------------------------------------------（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

17．如图，圆锥形容器的高为
圆锥内水面的高为
且
若将圆锥倒置，水面高为
则
等于-----------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

18．设
、
是关于
的方程
的两个不相等的实数根，那么过两点
、
的直线与圆
的位置关系是----------------------------------------( )

（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）随
的变化而变化

解答题：（本大题共5题，满分74分）

19．（本题满分12分；第（1）小题６分，第（2）小题6分）

已知函数
．

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）将函数
图像向右平移
个单位后，得到函数
的图像，求方程
的解.

20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）

在直三棱柱
中，
，
，且异面直线
与
所成的角等于
，设
.

（1）求
的值；

（2）求三棱锥
的体积．

21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）

已知函数

（1）若不等式
的解集为
，求
的值；

（2）在（1）的条件下，若存在
使
，求
的取值范围．

22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）

已知椭圆
的右焦点为
，且点
在椭圆
上．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）过椭圆
上异于其顶点的任意一点
作圆
的两条切线，切点分别为
不在坐标轴上），若直线
在
轴，
轴上的截距分别为
证明：
为定值；

（3）若
是椭圆
上不同的两点，

轴，圆
过
且椭圆

上任意一点都不在圆
内，则称圆
为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆
是否存在过左焦点
的内切圆？若存在，求出圆心
的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

设集合
由满足下列两个条件的数列
构成：①
②存在实数
使
对任意正整数
都成立．

现在给出只有5项的有限数列
其中
；

试判断数列
是否为集合
的元素；

（2）数列
的前
项和为
且对任意正整数
点
在直线
上，证明：数列
并写出实数
的取值范围；

（3）设数列
且对满足条件②中的实数
的最小值
都有
求证：数列
一定是单调递增数列．

2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

数学学科（理科）参考答案及评分标准 　 　 2016.4

填空题：(本题满分56分，每小题4分)

１．
　2．
　　　3．
　 4．
　5．
　 6．
　　　　

7．
　　　8．
9．
　 10．4或7 　　11．

12．200　 13．
14．

二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15．C　　　16．Ｂ　　　17．Ｄ　　　18．Ｃ

解答题：（本大题共5题，满分74分）

19．（本题满分12分；第（1）小题６分，第（2）小题6分）

【解答】（1）
， --------------3分

由
得：

的单调递增区间是

；--6分

（2）由已知，
， -------------9分

由
，得
，

，
. -----------------------12分

20．（本题满分14分；第（1）小题6分，

第（2）小题8分）

【解答】如图建立空间直角坐标系，则由题意得，

，
所以
。-3分

设向量
所成角为
，则
，或
，

由于
，所以
，得
，解得
--------------6分

（2）连接
，

则三棱锥
的体积等于三棱锥
的体积，

的面积
，
的面积
，………（11分）

又
平面
，

所以
，所以
………（14分）

21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）

【解答】（1）
即

即
-----------------------------------------3分

----------------------------------------------------------------------6分

（2）
时，

若存在
使
即
---------------------8分

则
-----------------------------------------------------------------10分

当
时等号成立
即
----------------------------------------14分

22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）

【解答】（1）由题意得，
所以

又点
在椭圆
上，所以
解得

所以椭圆
的标准方程为
----------------------------------------------3分

（2）由（1）知，
设点

则直线
的方程为
① 直线
的方程为
②

把点
的坐标代入①②得
所以直线
的方程为

令
得
令
得
所以
又点
在椭圆
上，

所以
即
为定值．-------------------------------9分

（3）由椭圆的对称性，不妨设
由题意知，点
在
轴上，

设点
则圆
的方程为
----------------------11分

由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点
的距离的最小值是

设点
是椭圆
上任意一点，则

当
时，
最小，所以
①

假设椭圆
存在过左焦点
的内切圆，则
②

又点
在椭圆
上，所以
③------------------------------------14分

由①②③得
或

当
时，
不合题意，舍去，且经验证，
符合题意。

综上，椭圆
存在过左焦点
的内切圆，圆心
的坐标是
---------16分

23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

【解答】（1）对于数列

不满足