崇明县2015-2016学年第二次高考模拟考试试卷

高三数学（理卷）

（考试时间120分钟，满分150分）

考生注意：

每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；

答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚；

本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知全集
，
，
，则
　　　　　　．

2．设复数
满足
（i是虚数单位），则复数
的虚部为　　　　　　．

3．（理）若函数

的最小正周期是
，则
　　　　　　．

4．（理）圆
的圆心到直线
的距离
　　　　　　．

5．（理）已知圆锥的母线长为
cm，侧面积为
cm2，则此圆锥的体积为　　　　　　cm2．

6．（理）已知
，且满足
，则
的最大值为　　　　　　．

7．（理）已知双曲线

的一条渐近线方程是
，它的一个焦点与抛物线
的焦点相同，则双曲线的标准方程为　　　　　　．

8．（理）已知函数
，若
的最小值是
，则
　　　　　　．

9．（理）从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，若这个小组中必须男女医生都有，共有　　　　种不同的组建方案（结果用数值表示）．

10．（理）若数列
是首项为1，公比为
的无穷等比数列，且
各项的和为a，则a的值是

　　　　　　．

11．（理）设
，n是大于1的自然数，
的展开式为
．若
，

，则
　　　　　　．

12．（理）某种填数字彩票，购票者花2元买一张小卡片，在卡片上填10以内（0，1，2，…，9）的三个数字（允许重复）．如果依次填写的三个数字与开奖的三个有序的数字分别对应相等，得奖金1000元．只要有一个数字不符（大小或次序），无奖金．则购买一张彩票的期望收益是

　　　　　　元 ．

13．（理）矩形
中，
，P为矩形内部一点，且
．若

，则
的最大值是　　　　　　．

14．（理）已知函数
是定义在
上的函数，且
，则函数

在区间
上的零点个数为　　　　　　．

二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15．“
成立”是“
成立”的……………………………………………（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不不充分也不必要条件

16．（理）下面是关于公差
的等差数列
的四个命题：

（1）数列
是递增数列； （2）数列
是递增数列；

（3）数列
是递减数列； （4）数列
是递增数列．

其中的真命题的个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

17．设
的内角
所对的边分别为
，若

，则
的形状为（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不确定

18．函数
的图像如图所示，在区间
上可找到
个

不同的数
，使得
，则n的取

值范围是………………………………………………………（　　）

A．
B．

C．
D．

三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19．（本题满分12分，本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）

　（理）如图，在棱长为1的正方体
中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD的中点．

（1）求证：
；

（2）求二面角
的大小

（结果用反三角函数值表示）．

20. （本题满分14分，本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）

　　已知函数

（理）（1）根据
的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围．

21．（本题满分14分，本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）

　　某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所

在的平面与道路走向垂，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影

部分所示．已知
，
，路宽
米．

设

（1）求灯柱AB的高
（用
表示）；

（2）此公司应该如何设置
的值才能使制造路灯灯柱AB与

灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？

（结果精确到0.01米）

22．（本题满分16分，本题共有3小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分）　　

（理）已知数列
与
满足
．

（1）若
，求数列
的通项公式；

（2）若
，且数列
是公比等于2的等比数列，求
的值，使数列
也是等比数列；

（3）若
，且
，数列
有最大值M与最小值m，求
的取值范围．

23．（本题满分18分，本题共有3小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(2)小题满分8分）

（理）　已知椭圆

的左、右焦点分别是
、
，Q是椭圆外的动点，满足
．点P是线段
与该椭圆的交点，点T在线段
上，并且满足
，
．

（1）当
时，用点P的横坐标x表示
；

（2）求点T的轨迹C的方程；

（3）在点T的轨迹C上，是否存在点M，使
的面积
？若存在，求出
的

正切值；若不存在，说明理由．

崇明县2015-2016学年第二次高考模拟高三数学（理科）参考答案及评分标准

一、填空题

1．
； 2.
； 3.
； 4.
； 5.
； 6.
； 7.
；

8.
； 9.
； 10.
； 11.
； 13.
； 14.
.

二、选择题

15.B； 16.C； 17.B； 18.D.

三、解答题

19.证明：如图，建立空间直角坐标系，.................................1分

可得有关点的坐标为

，
......................4分

所以
...............................5分

所以
...............................6分

（2）设
是平面
的一个法向量.

因为

所以

解得
.取
，得
.............................9分

因为
，所以平面
的一个法向量是
.........10分

设
与
的夹角为
，则
.......................11分

结合图形，可判别得二面角
是钝角，其大小为
........12分

20.（1）函数
的定义域为R

当
时，
，
，函数为偶函数；..............2分

当
时，
，
，函数为奇函数；............4分

当
时，
此时

所以函数为非奇非偶函数.........................................6分

由于
得
，即
，

令
，................................................8分

原不等式等价于
在
上恒成立，

亦即
在
上恒成立，.............................10分

令
，

当
时，
有最小值
，所以
................14分

21.（1）三角形ACD中，
，

由
，得

.................................3分

三角形ABC中，

由
，得

...................6分

（2）三角形ABC中，

由
，得

.................................9分

所以

.......................................................11分

因为
，所以

所以当
时，
取得最小值
......................13分

制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米. .....14分

22. （1）

所以数列
为等差数列................................2分

因为
，所以
.............................4分

（2）数列
是公比等于2的等比数列，
，

所以
，所以

所以

...........7分

因为数列
是等比数列

所以
，所以
，

当
时，
，数列
是等比数列

所以
..................................................10分

(3)当
时，

所以

当
时，上式依然成立，所以
................12分

，

因为
，所以

即数列
的偶数项构成的数列
是单调增数列

同理

即数列
的奇数项构成的数列
是单调减数列

又
，所以数列
的最大值

，所以数列
的最小值
.....14分

所以

因为
，所以

所以
..................................................16分

23. （1）设点P的坐标为

由P
在椭圆上，得

由
，所以
.........................4分

（2）设点T的坐标为

当