上海2016届高三预测金卷

数 学

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1.函数
的周期为
，则
.

2.已知集合
，集合
．若
，则实数
.

3.已知复数
满足：
，其中
为虚数单位，则复数
的模为 .

4.在行列式
中，元素
的代数余子式的值是 .

5.如图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩落在
中的学生人数是 .

6.如图，圆锥形容器的高为
，圆锥内水面的高为
，且
，若将圆锥倒置，水面高为
，则
等于 ．

7.已知函数
，若
的定义域中的
，
满足
，则
.

8.
的二项展开式中，常数项的值是 .

9.已知直线
.若
是从
这5个数中选取的不同的两个数，则直线的斜

率小于0的概率为 ．

10.从抛物线
上一点
引其准线的垂线，垂足为
，设抛物线的焦点为
，且
，则
的面积为 .

11.满足线性约束条件
的可行域中共有 个整数点.

12.
是
边
延长线上一点，记
. 若关于
的方程
在
上恰有两解，则实数
的取值范围是 .

13.对于给定的正整数
，若等差数列
，
，
，…满足
，则
的最大值为 .

14. 正整数
，
满足
，若关于
，
的方程组
有且只有一组解，则
的最大值为 ．

二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

15.“函数
存在反函数”是“函数
在
上为单调函数”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

16.已知函数
，
，则下列判断正确的是（ ）.

A.当
时，
的最小值为

B.当
时，
的最小值为

C.当
时，
的最小值为

D.对任意的
，
的最小值均为

17.给出下列命题，期中正确的命题为（ ）

A.若直线
和
共面，直线
和
共面，则
和
共面

B.直线
与平面
不垂直，则
与平面
内所有的直线都不垂直

C.直线
与平面
不平行，则
与平面
内的所有直线都不平行

D.异面直线
不垂直，则过
的任何平面与
都不垂直

18. 已知函数
.若
，且当
时，
恒成立，则
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19.（本题满分12分）

如图，在直三棱柱
中，
，
.

（1） 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图；

（2） 若
是
的中点，求四棱锥
的体积.

20.（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

设函数
为实数).

(1)若
为偶函数，求实数
的值； (2)设
，求函数
的最小值.

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接2015年“双十一”购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足
(其中
，a为正常数)．已知生产该批产品P万件还需投入成本(
)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为
元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．

（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

22.（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.

如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
的离心率
，左顶点为
，过点
作斜率为
的直线
交椭圆
于点
，交
轴于点
.

（1）求椭圆
的方程;

（2）已知
为
的中点，是否存在定点
，对于任意的
都有
，若存在，求出点
的坐标；若不存在说明理由;

（3）若过
点作直线
的平行线交椭圆
于点
，求
的最小值.

23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

设数列
共有
项，记该数列前
项
，
，…，
中的最大项为
，该数列后
项
，
，…，
中的最小项为
，
（
1，2，3，…，
）．

（1）若数列
的通项公式为
，求数列
的通项公式；

（2）若数列
是单调数列，且满足
，
，求数列
的通项公式；

（3）试构造一个数列
，满足
，其中
是公差不为零的等差数列，
是等比数列，使得对于任意给定的正整数
，数列
都是单调递增的，并说明理由．

答案与解析

一、填空题

1.
2.1 3.
4.
5.25 6.
7.
8. 1080 9.
10. 10 11.15 12.
或
13.
14.2016

解析：

1. 因为
，所以
，即
.

10.由题意，设
，则
，所以
，即
.

11. 借助图形可以直观些，但直观列举较快：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共有
个.

12. 在
边BC延长线上，因此由

,知
，故
.

由于
都不是原方程的解，故原方程在
上恰有两解，这等价于

在
上恰有两解，令
，即要求
在
上恰有两解，故当直线
与
，
恰有一个交点时符合题意，因为当
时
在
始终恰好有两个解
.
时，
；又
，故只需考虑
时的情况，
在
上递增，在
上递减，
，
，故当
或
直线
与
恰有一个交点，即原方程恰好2解.

13. 因为数列
是等差数列，所以
，所以
，又因为
，即

，关于
的二次方程
有解，则
，化简得
，所以

，
，所以
.

14. 令
，

在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示，

要使得关于
的方程组有且只有一组解，

则只需两函数的图像有且只有一个交点，所以有
，

由
得
，
，

又
，
，所以
，
，

所以
的最大值为2016，故答案为2016.

二、选择题

15.B

16.A

17.D

解析：对于A，若
为异面直线
的公垂线，则
与
，
与
都相交，但
异面，故A错误；

对于B，若直线
，则
内有无数条直线都与直线
垂直，故B错误；对于C，若直线
，则
内有无数条直线都与直线
平行，故C错误；对于D，假设存在平面
，使得
，
，

则
，与条件矛盾，所以假设错误，故D正确.

18.A

解析：
的图像是一条开口向上的抛物线，关于
对称.

若
上是增函数，

从而
上的最小值是
最大值是

由
于是有

由

所以
......

若
,则
不恒成立.

所以使
恒成立的
的取值范围是
......

三、解答题

19. 解析：

（2）解：如图所示. 由
，
，则
面
.所以，四棱锥
的体积为
.

20. 解析：(1)由已知
，即
，解得