2016年深圳市高三年级第二次调研考试

数学（理科）

1．复数
满足
（
为虚数单位），则
（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】
．

2．设
是两个集合，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

3．若
，则
（ ）

A．
B．
C．

D．

【答案】C

【解析】∵
，∴
．

∴
．

4．若
满足约束条件
则目标函数
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】目标函数
表示为可行域内的

点
和点
连线的直线的斜率，

由图可知：

当其经过点
时，直线的斜率最大，

即
．

5．如图所示的流程图中,若输入
的值分别是
，则输出的
（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】由题意可知
，

∴
．

6．已知函数
的图象是由函数
的图象经过如下变换得到：先将
的图象向右平移
个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变．则函数
的一条对称轴方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】

．

∴
．

对称轴方程为
，

即
，故选A．

7．以直线
为渐近线的双曲线的离心率为为（ ）

A．
B．
C．
或
D．

【答案】C

【解析】∵双曲线的渐近线方程为
，

∴
，或
．∴
，或
．

∴
，或
．

8．
位男生和
位女生共
位同学站成一排，则
位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】
．

9．如图，正方形
中，
是
的中点，若
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】D

【解析】∵

,

∴
， 解得
，
．

10．已知函数
则关于
的不等式
的解集为（ ）

A.
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】函数
的定义域
关于原点对称，

∵
时，
，
，

同理：
，∴
为偶函数．

∵
在
上为减函数，

且
，

∴当
时，由
，得
，

∴
，解得
．

根据偶函数的性质知当
时，得
．

11．如图，网格纸上小正方形的边长为
，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】该几何体的直观图，如图：

，
，

∴
．

12．设定义在
上的函数
满足
，
，则
（ ）

A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值

C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值

【答案】D

【解析】
的定义域为
，

∵
，

∴
，

∴
，∴
，

∴
．

∵
，∴
．

∴
，

∴
在
上单调递增，

∴
在
上既无极大值也无极小值．

二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分

13．高为
，体积为
的圆柱的侧面展开图的周长为 ．

【答案】

【解析】∵
，∴
，

∴侧面展开图的周长为
．

14．过点
的直线
与圆
相交于
两点，当弦
的长取最小值时，直线
的倾斜角等于 ．

【答案】

【解析】∵
的长取最小值时，
垂直于
，

∴
，即
，

∴
，直线
的倾斜角等于
．

15．在
展开式中，
项的系数为____________．(结果用数值表示)

【答案】

【解析】含有
项为
．

另解：
，

∴通项
，

的通项

∴
，∴
．

∴
项的系数为
．

16．如图，在凸四边形
中，
，
，
，
．当
变化时，对角线
的最大值为_________．

【答案】D

【解析】设
，在
中，

，

∴
，

∵
,∴
．

在
中，

，

，

∵
，∴
可以取到最大值
，

∴
．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ．

17．（本小题满分12分）

设数列
的前
项和为
，
是
和1的等差中项．

（1）求数列
的通项公式；

（2）求数列
的前
项和
．

【解析】（1）由题意得：
， ①

当
时，
，②

①-②得
，即
，∴
．

由①式中令
，可得
，

∴数列
是以1为首项，2为公比的等比数列，

∴
．

（2）由
得

∴
．

18．(本小题满分12分)

某市在以对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．

(1)某校高一年级有男生500人，女生4000人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表：

等级

优秀

合格

不合格



男生（人）

15



5



女生（人）

15

3





 根据表中统计的数据填写下面
列联表，并判断是否有
的把握认为“综合素质评介测评结果为优秀与性别有关”？

男生

女生

总计



优秀









非优秀









总计









（2）以（１）中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．

（i）求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；

（ii）记
表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求
的数学期望．

参考公式：
，其中
．

临界值表：



























【解析】（1）设从高一年级男生中抽出
人，则
．

∴

男生

女生

总计



优秀

15

15

30



非优秀

10

5

15



总计

25

20

45



 而

∴没有
的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”．

（2）（i）由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为
，∴从该市高一学生中随机抽取1名学生，该生为“优秀”的概率为
．

记“所选3名学和g中恰有2人综合素质评价‘优秀’学生”为事件
，则事件
发生的概率为：
；

（ii）由题意知，随机变量
，

∴随机变量
的数学期望
．

19．(本小题满分12分)

在三棱柱
中，
，侧面
是边长为
的正方体．点
分别在线段
上，且
．

（1）证明：平面
平面