2016年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试

数学（理科）试卷　2016.4.22

参考学校：东北育才 大连八中等

第I卷(选择题 60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题的选项中只有一项是正确的．

1.已知集合
，则

A．
B．
C．
D．

2.设
是虚数单位，若复数
是纯虚数，则

A.
B.
C.
D.

3.在等差数列
中，已知
则

A.40 B.42 C.43 D.45

4.在△ABC中，∠C=90°，
,
,则
的值是

A.5 B.－5 C.
D.

5.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据
. 根据收集到的数据可知
，由最小二乘法求得回归直线方程为
，则

A.60 B.120 C.150 D.300

6.已知点
在幂函数
的图象上,则函数
是

A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数

7.如图，正方体
中，
为棱
的中点，用过点
的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为

A B C D

8.已知
为锐角三角形，命题
：不等式
恒成立，

命题
：不等式
恒成立.

则复合命题
中，真命题的个数为

A.1 B.2 C.3 D.4

9.设实数
满足不等式组
，
是目标函数
取最大值的唯一最优解，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10.已知点
为抛物线
上的动点（不含原点），过点
的切线交
轴于点
，设抛物线
的焦点为
，则
为

A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不确定

11.2016年某高校艺术类考试中，共有6位选手参加，其中3位女生，3位男生，现这六名考生依次出场进行才艺展出，如果3位男生中任何两人都不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么这六名考生出场顺序的排法种数为

A.108 B.120 C.132 D.144

12.已知函数
，若方程
有六个相异实根，则实数
的取值范围

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每

个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13.在
的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为
，

则二项式系数的最大值为 .

在右图的算法中，如果输入
，
，则输出的结

果是 .

15.已知
，那么
的最小值是 .

16.三棱锥
中，侧棱
平面
，底面
是边长

为
的正三角形，
，则该三棱锥的外接球体积等于 .

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.（本小题满分12分）

在公比为
的等比数列
中，
与
的等差中项是
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若函数
，
，的一部分

图象如图所示，
，
为图象上的两点，设
，其中
为坐标原点，
，求
的值.

18．（本小题满分12分）

甲、乙两所学校高三年级分别有600人，500人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区五校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：

甲校：

分组

[70,80）

[80,90）

[90,100）

[100,110）



频数

3

4

7

14



分组

[110,120）

[120,130）

[130,140）

[140,150]



频数

17

x

4

2



乙校：

分组

[70,80）

[80,90）

[90,100）

[100,110）



频数

1

2

8

9



分组

[110,120）

[120,130）

[130,140）

[140,150]



频数

10

10

y

4





甲校

乙校

总计



优秀









非优秀









总计









 （Ⅰ）计算x，y的值；

（Ⅱ）若规定考试成绩在[120, 150]内为优秀，由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异;

（III）若规定考试成绩在[120, 150]内为优秀，现从已抽取的110人中抽取两人，要求每校抽1人，所抽的两人中有人优秀的条件下，求乙校被抽到的同学不是优秀的概率.

参考公式：
．其中
．

P（K2≥k0）

0．10

0．05

0．010



k0

2．706

3．841

6．635



临界值表

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
底面
，

，
，
，
，
.

(Ⅰ)求二面角
的余弦值.

(Ⅱ)在线段
上是否存在一点
，使得
，若存在，

求线段
的长度，不存在，说明理由.

20.（本小题满分12分）

椭圆
，椭圆
的

一个焦点坐标为
，斜率为
的直线
与椭圆
相交

于
两点，线段
的中点
的坐标为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
为椭圆
上一点，点
在椭圆
上，且
，则直线
与直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数
.

(Ⅰ) 判断
在
的单调性；

(Ⅱ) 若
,证明:
.

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22.（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲

如图，
切⊙
于
,
为⊙
的割线.

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)已知
，求
与
的比值.

23.（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，已知⊙
的方程
，直线
,在以
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点作射线交⊙
于
，交直线
于
.

(Ⅰ)写出⊙
及直线
的极坐标方程；

(Ⅱ)设
中点为
，求动点
的轨迹方程.

24．（本小题满分10分）选修4 - 5：不等式选讲

不等式
的解集为

(Ⅰ)求实数

(Ⅱ)若实数
满足:
求证:
.

数学（理）答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题的选项中只有一项是正确的．

1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.A 7.C 8.A 9.C 10.B 11.C 12.D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13.70 14.14 15.
16.

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

（Ⅰ） 解：由题可知
，又
---------2分

故
∴
----------4分

（Ⅱ）∵点
在函数
的图象上，

∴
，又∵
，∴
-------------6分

如图，连接
，在
中，由余弦定理得

又∵

∴
-------------9分

∴
-------12分

18解：（Ⅰ） 从甲校抽取110×
＝60（人），从乙校抽取110×
＝50（人），故x＝9，y＝6． ---------2分

甲校

乙校

总计



优秀

15

20

35



非优秀

45

30

75



总计

60

50

110



 （Ⅱ）表格填写如下，

K2＝
≈2．829>2．706，

故有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异． ---------8分

（III）设两班各取一人，有人及格为事件
，乙班学及格为事件
，根据条件概率，则所求事件的概率
---------12分

19.解：(Ⅰ) 如图，以
分别为
轴的正半轴方向，建立空间直角坐标系，则


． - --------2分

易知
是平面
的法向量， ---------3分

，

设平面
的法向量为
，

则
．
，

取
，得
． - --------5分

，

则二面角
的余弦值为
． ---------7分

(Ⅱ)过
作
于
，由已知，得
∥
，

设
，则
． ---------9分

．

，
，
， ---------11分

． - --------12分

20.解:（Ⅰ）设
，则

∴
， ---------2分

又
的斜率为1，
的坐标为
，

∴
，即
，

又
，∴
， ---------4分

∴
． ---------5分

（Ⅱ）设
，则

∵
，∴
---------7分

又
∴
，

即
， ---------9分

又
，

∴
，即
，

∴
． ---------12分

21.解：(Ⅰ)函数
的定义域是
, ---------1分

对
求导得
, ---------2分

令
,只需证:
时,
.

又
---------3分

故
是
上的减函数,所以
---------4分

所以
,函数
是
上的减函数. ---------5分

(Ⅲ)将不等式
等价为
---------6分

因为
,

故原不等式等价于
, ---------8分

由(Ⅰ)知,当
时,
是
上的减函数，

故要证原不等式成立,只需证明:当
时,
,

令
,则
,
是
上的增函数,

所以
,即
,故
,

即
---------12分

22.解:(Ⅰ)
分别为⊙
的切线,

由弦切角定理,得

又
为
与