2016年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试

数学（文科）试卷　2016.4.22

参考学校：东北育才 大连八中等

第I卷(选择题 60分）

一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题的选项中只有一项是正确的)

1.已知集合
，则

A．
B．
C．
D．

2.当
时，复数
在复平面内对应的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.在等差数列
中，已知
则

A.40 B.42 C.43 D.45

4.在△ABC中，∠C=90°，
,
,则
的值是

A.5 B.－5 C.
D.

5.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据
. 根据收集到的数据可知
，由最小二乘法求得回归直线方程为
，则

A.60 B.120 C.300 D.150

6. 若点（
,16）在函数
的图象上，则tan
的值为

A.
B.
C.
D.

7. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是

A.①② B.①③ C.①④ D.②④

8.已知
为锐角三角形，命题
：不等式
恒成立，命题
：不等式
恒成立.则复合命题
中 ，真命题的个数为

A.0 B.1 C.2 D.3

9.在平面区域
内随机取一点，则所取的点恰好落在圆
内的概率是

A.
B.
C.
D.

10.设f(x)＝asin2x＋bcos2x，且满足
且
，则下列说法正确的是：

A.
B.f(x)是奇函数

C.f(x)的单调递增区间是
(k∈Z) D.

11.已知点
为抛物线
上的动点（不含原点），过点
的切线交
轴于点
，设抛物线
的焦点为
，则
为

A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不确定

12.已知函数
，方程

则方程的根的个数是

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试

题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设函数
在
，
处取得极值，

且
=
，则
= .

在右图的算法中，如果输入
，
，则输出的结

果是 .

15.已知
，那么
的最小值是 .

16.三棱锥
中，侧棱
平面
，底面
是边长为

的正三角形，
，则该三棱锥的外接球体积等于 .

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.（本小题满分12分）

在公比为
的等比数列
中，
与
的等差中项是
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若函数
，
，的一部分

图像如图所示，
，
为图象上的两点，设
，其中
为坐标原点，
，求
的值.

18．（本小题满分12分）

?某校一模考试数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,可见部分如下:?

试根据图表中的信息解答下列问题:

(1)求全班的学生人数及分数在[70,80)之间的频数;

(2)为快速了解学生的答题情况,老师按分层抽样的方法从位于[70,80),[80,90)和[90,100]分数段的试卷中抽取8份进行分析,再从中任选2人进行交流,求交流的2名学生中,恰有一名成绩位于[70,80)分数段的概率.

19．（本小题满分12分）

（1）定理：平面内的一条直线与平面的一条斜线在平面内的射影垂直，

则这条直线垂直于斜线。

试证明此定理：如图所示：若
，
是垂足，斜线
，

试证明

（2）如图，正方体
中，点
在侧面
及其边界上运动，并且总是保持
，试证明动点
在线段
上.

20.（本小题满分12分）

椭圆
，椭圆
的

一个焦点坐标为
，斜率为
的直线
与椭圆
相交

于
两点，线段
的中点
的坐标为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
为椭圆
上一点，点
在椭圆
上，且
，则直线
与直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数

（1）讨论函数
的单调性；

（2）证明：

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22.（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲

如图，
切⊙
于
,
为⊙
的割线.

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)已知
，求
与
的面积之比.

23.（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，已知⊙
的方程
，直线
,在以
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点作射线交⊙
于
，交直线
于
.

(Ⅰ)写出⊙
及直线
的极坐标方程；

(Ⅱ)设
中点为
，求动点
的轨迹方程.

24．（本小题满分10分）选修4 - 5：不等式选讲

不等式
的解集为

(Ⅰ)求实数

(Ⅱ)若实数
满足:
求证:
.

2016年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试

数学（文科）答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题的选项中只有一项是正确的．

1.B 2.D 3.B 4.A 5.C 6.C 7.D 8.B 9.A 10.D 11.B 12.D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13.-3 14.14 15.
16.

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

（Ⅰ） 解：由题可知
，又
---------2分

故
∴
----------4分

（Ⅱ）∵点
在函数
的图象上，

∴
，又∵
，∴
-------------6分

如图，连接
，在
中，由余弦定理得

又∵

∴
-------------9分

∴
-------12分

18(1)由茎叶图和直方图可知,分数在[50,60)上的频数为4人,频率为0.008×10=0.08,∴参赛人数为
=50人2分?故分数在[70,80)之间的频数等于50-(4+14+8+4)=20人4分

(2)按分层抽样原理,三个分数段抽样数之比等于相应频率之比,又[70,80),[80,90)和[90,100]分数段频率之比等于5∶2∶1,由此可得抽出的样本中分数在[70,80)的有5人,记为A,B,C,D,E,分数在[80,90)的有2人,记为F,G,分数在[90,100]的有1人.记为H.6分?则从中抽取2人的所有可能情况为(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F)(A,G)(A,H)(B,C)(B,D)(B,E)(B,F)(B,G)(B,H)(C,D)(C,E)(C,F)(C,G)(C,H)(D,E)(D,F)(D,G)(D,H)(E,F)(E,G)(E,H)(F,G)(F,H)(G,H),共28个基本事件8分?设事件A:交流的2名学生中,恰有一名成绩位于[70,80)分数段9分则事件A包含(A,F)(A,G)(A,H)?(B,F)(B,G)(B,H)?(C,F)(C,G)(C,H)?(D,F)(D,G)(D,H)?(E,F)(E,G)(E,H)15个基本事件11分?所以P(A)=
12分

19. (1)证明：

-----------6分

（2）证明：连接AC,BD,

连接

,

.--------------------12分

20.解:（Ⅰ）设
，则

∴
，---------2分

又
的斜率为1，
的坐标为
，

∴
，即
，

又
，∴
，---------4分

∴
．---------5分

（Ⅱ）设
，则

∵
，∴
---------7分

又
∴
，

即
，---------9分

又
，∴
，即
，

∴
．-------12分

21.

每问6分，共12分。

22.解:(Ⅰ)
分别为⊙
的切线,

由弦切角定理,得

又
为
与
的公共角

∽

,同理

又
,

即
-------5分

(Ⅱ)由圆的内接四边形的性质,得
,

由(Ⅰ)得,
.-------10分

23.解: (Ⅰ)⊙
的极坐标为
,直线
的极坐标方程为
.-------5分

(Ⅱ)设
,
,则
-------10分

24.解：(Ⅰ)不等式
的解集为
，所以
.------5分

(Ⅱ)证明:∵
，

又
，即

，∴
. -------10分

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