2016年漳州市普通高中毕业班质量检查

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分．

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，若M=P∩Q，则M的子集个数为

（A）5 （B）4 （C）3 （D）2

（2）已知复数(1+i)z=3+i，其中i为虚数单位，则复数z所对应的点在

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（3）设命题p：函数
在R上为增函数；命题q：函数
为奇函数，则下列命题中真命题是

（A）p
q （B）
（C）
（D）

（4）两向量
=（4，-3），
=（-5，-12），则
在
方向上的投影为

（A）（-1，-15） （B）（-20，36） （C）
（D）

（5）已知函数
，x∈R，则函数
的单调递增区间是

（A）[
，
] ，k∈Z （B）[
，
] ，k∈Z

（C）[
，
] ，k∈Z （D）[
，
] ，k∈Z

（6）已知函数
满足
，则

（A）
（B）
（C）ln2 （D）ln3

（7）执行如图的程序框图，若输入n=4，则输出的结果是

（A）30 （B）62

（C）126 （D）254

（8）定长为6的线段MN的两端点在抛物线y2=4x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为

（A）6 （B）5 （C）3 （D）2

（9）三棱锥S-ABC中，SB⊥平面ABC，SB=
，△ABC是边长为
的正三角形，则该三棱锥S-ABC的外接球的表面积为

（A）3π （B）5π （C）9π （D）12π

（10）若实数x，y满足
则x2+y2的最小值为

（A）
（B）
（C）
（D）5

（11）一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为

（A）
（B）

（C）
（D）

（12）已知函数f (x)=x2-x|x-a|-3a，a≥3．若函数f (x)恰有两个不同的零点x1，x2，则
的取值范围是

（A）(1，+∞) （B）(
，+∞）

（C）(
，1] （D）(
，
]

第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷共4页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知等比数列{an}中，an>0，a2=3，a6=12，则a4=__________.

（14）已知双曲线
（m>0）的离心率为
，则m的值为__________.

（15）某商场推出“砸金蛋”促销活动，单笔购满50元可以玩一次“砸金蛋”游戏，每次游戏可以砸两个金蛋，每砸一个金蛋可以等可能地得到“水仙花卡片”，“片仔癀卡片”和“八宝印泥卡片”中的一张，如果一次游戏中可以得到相同的卡片，那么该商场赠送一份奖品，则玩一次该游戏可以获赠一份奖品的概率是_______.

（16）已知数列{an}中，a1=-1，且n(an+1-an)=2-an+1（n∈N*），现给出下列4个结论：

①数列{an}是递增数列；

②数列{an}是递减数列；

③存在n∈N*，使得(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)>2016；

④存在n∈N*，使得(2-a1)2+(2-a2)2+…+(2-an)2>2016．

其中正确的结论的序号是__________（请写出所有正确结论的序号）.

三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知△ABC的三个内角为A，B，C，向量m=（cosA，-sinB），n=（cosB，sinA）满足m·n=cosC．

（Ⅰ）求证：△ABC是直角三角形；

（Ⅱ）若AC=
，BC=6，P是△ABC内的一点，且∠APC=∠BPC=
，设∠PAC=
，求
．

（18）（本小题满分12分）

某高校进行自主招生测试，报考学生有500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们测试的分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成4组：[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）根据频率分布直方图可以估计女生测试成绩的平均值为103.5，请你估计男生测试成绩的平均值，由此推断男、女生测试成绩的平均水平的高低；

（Ⅱ）若规定分数不小于110分的学生为“优秀生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“优秀生与性别有关”？

（19）（本小题满分12分）

四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△BCD是边长为
的等边三角形，AD=2，AB=1，点F在线段AP上．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）若BF//平面PCD，△PAD是等边三角形，求点F到平面PCD的距离．

（20）（本小题满分12分）

已知定点A（1，0），动点P在圆B：(x+1)2+y2=16上，线段PA的中垂线为直线l，直线l交直线PB于点Q，动点Q的轨迹为曲线E．

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）若点P在第二象限，且相应的直线l与曲线E和抛物线C：
都相切，求点P的坐标．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
，函数
的图象在点(2，f(2))处的切线与直线y=
垂直，其中实数a是常数，e是自然对数的底数．

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若关于x的不等式
有解，求实数t的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD都是⊙O的割线，AC=AB．

（Ⅰ）证明：AC2=AD·AE；

（Ⅱ）证明：FG//AC．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
(其中
为参数) ．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线
和
(0<
<
)与圆C分别交于异于极点O的A、B两点．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）求|OA|+|OB|的最大值．

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
，a∈R．

（Ⅰ）若a=2，求不等式
≥-3的解集；

（Ⅱ）若存在实数x使得
≥2a成立，求实数a的取值范围．

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文科数学试题答案及评分参考

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

（1）B （2）D （3）D （4）C （5）A （6）A

（7）B （8）D （9）C （10）B （11）A （12）C

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．

（13）6 （14）3 （15）
（16）①③

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

（17）解：（Ⅰ）∵m=（cosA，-sinB），n=（cosB，sinA）满足m·n=cosC

∴cosAcosB-sinBsinA=cosC ………………………… 1分

∴cos(A+B)=cosC …………………………………… 2分

∴cos(π-C)=cosC，即-cosC=cosC，即cosC=0 ………4分

又C∈(0，π) ∴C=
∴△ABC是直角三角形 …… 6分

（Ⅱ）在△PAC中，AC=
，∠PAC=
，∠APC=
，

由正弦定理，有
① ………… 7分

在△PBC中，BC=6，∠BPC=
，∠PCB=
-∠PCA=

∠PBC=
8分

由正弦定理，有
② 9分

①÷②，得
…………………………………………………………10分

∴
………………………………………………………………11分

∴
，即
∴
…………………12分

（18）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可以估计男生测试成绩的平均值为

=80×0.0150×20+100×0.0225×20+120×0.0100×20+140×0.0025×20=100 3分

∵103.5>100 4分

∴由此可以推断，女生测试成绩的平均水平略高于男生． 5分

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生有
(人)，测试成绩优秀的男生有60×(0.0100+0.0025) ×20 =15(人)；女生有
(人)，测试成绩优秀的女生有40×(0.01625+0.00250) ×20=15(人) 7分

据此可得2×2列联表如下：21教育网

优秀生

非优秀生

合计



男生

15

45

60



女生

15

25

40



合计

30

70

100



 9分

所以得

1.79 10分

因为1.79 < 2.706，P(K2≥2.706)= 0.100 11分

所以没有90%的把握认为“优秀生与性别有关”． 12分

（19）解法一：（Ⅰ）∵AB=1，AD=2，BD=
∴

∴∠ADB=
2分

∵△BCD是等边三角形 ∴∠BDC=

∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=
，即CD⊥AD 3分

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD
平面ABCD

∴CD⊥平面PAD， 5分

（Ⅱ）过B作BG//CD，交AD于G，则BG//平面PCD，BG⊥AD

连结GF，又BF//平面PCD，∴平面FBG//平面PCD 6分

又平面PAD分别交平面FBG和平面PCD于FG，PD

∴FG//PD，∴

…………………………… 7分

在Rt△BGD中，BD=
，∠BDG=

DG=BD·cos
=

∴

=
……………………………………………………………… 9分

过F作FH⊥PD于H，由（Ⅰ）知CD⊥FH，∴FH⊥平面PCD于H，∴FH是点F到平面PCD的距离 ………………………………………………………………… 10分

过A作AM⊥PD于M，∵△PAD是边长为2的等边三角形 ∴AM=

又FH//AM ∴
∴

∴点F到平面PCD的距离为
．……………………………………………… 12分

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）延长AB交DC于Q，连结PQ

若BF//平面PCD，则BF//PQ，

∴

………………… 7分

∵AD2=AB2+BD2 ∴∠ABD=

在Rt△DBQ中，

BQ=BD·tan∠BDC=
，QA=AB+BQ=1+3=4∴


………………………………………………… 9分

下同解法一．

（20）解：（Ⅰ）圆B的圆心为B(-1，0)，半径r=4 ……………… 1分

连结QA，∵Q在PA的中垂线l上 ∴|QA|=|QP|

∴|QA|+|QB|=|QP|+|QB|=|BP|=r=4>2=|AB|

∴点Q的轨迹是以A、B为焦点，以4为长轴长的椭圆 …………………………………………………… 3分

∴2a=4，a=2；2c=2，c=1；

∴曲线E的方程为
…………………… 5分

（Ⅱ）∵直线l与椭圆E和抛物线C都相切，

∴直线l斜率一定存在，设l：y=kx+m ①

①代入
，得

由
，得

② 6分

①代入
，得

由
，得
③ 7分

由②③解得
， 8分

设P(x0，y0)，∵P在第二象限 ∴x0<0，y0>0，

注意A与P关于直线l对称，kAP<0，∴k>0 ∴k=
9分

∴l：
，则
，解得
，经检验P(-1，4)在圆C上，

故所求点P的坐标为P(-1，4)． 12分

（21）解：（Ⅰ）
…………………………………………………………………… 2分

∵
的图象在点(2，f(2))处的切线与直线y=
垂直

∴
………………………………………………………………………… 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

∵
∴关于x的不等式
有解

x>1，使得
，即
，

即
，即
成立 （*）……………………………………6分

令
，则
………………………………………………7分

（1）若t≤e，则当x>1时，
，∴
在[1，+∞)上是增函数

∴当x>1时，
∴此时（*）不成立，不符合条件． ………………9分

（2）若t>e，则由
=0，得x=lnt>1

当x∈(1，lnt)时，
，∴
在[1，lnt)上是减函数

∴当x∈(1，lnt)时，
，∴此时（*）成立，符合条件．……………11分

综上，实数t的取值范围是（e，+∞）．…………………………………………… 12分

（22）选修4-1：几何证明选讲

证明：（Ⅰ）因为
是圆
的一条切线，
为割线，

所以
，又因为
，所以
．……………4分

（Ⅱ）由（1）得
，

又
，所以
∽
，

所以
，

因为
，所以

所以
．……………………10分

（23）选修4—4：坐标系与参数方程

解：(Ⅰ)依题意得，圆
的普通方程为
， 2分

所以圆