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普通高等学校招生全国统一考试猜题卷（二）

理科数学

本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

注意事项：

1．答题前，考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目，

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数z=
=·········································( )

A. -2+i B．i C．2-i D．-i：

2．已知集合M=
，N=
，则MUN=············· ( )

A.[-2，4） B．（-2，4） C．(o，2) D．(o，2]

3．采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号1，…，1 000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8，抽到的50入中，编号落人区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为·······( )

A．12 B．13 C．14 D．15

4．已知命题p:函数y=ln(x2 +3)+
的最小值是2；命题q：x>2是x>l的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是·······························( )

A. p
q B．￢p
q C．￢p
q D．p
q

5．已知点A是抛物线C1:y2 =2px(p>0)与双曲线C2:
(a>0，b>0)的一条渐近线的交点，若点A到抛

物线C1，的焦点的距离为p，则双曲线C2的离心率等于·················· ( )

A．
B．
C．
D．

6．
的展开式中含x的正整数指数幂的项数是····················( )

A1 B．2 C．3 D．4

7．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是·····························( )

A.若a2+a5 >0, 则a1+a2>0

B.若a1+a3<0, 则a1+a2<0

C.若0
-

D.若a1<0，则（a2-a1）（a4-a2）>0

8．如图，正四棱锥P-ABCD庇面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果VP-ABCD=
，则球O的表面积是····································( )

A．4
B．8
C．12
D．16

3 r+y-2≤0，

9．变量x，y满足线性约束条件
，目标函数z= kx-y仅在点(O，2)取得最小值，则

k的取值范围是·······················································( )

A．k<-3 B．k>l C．-l

10．某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为·······················( )

A．
B．
C．
D．

11.已知M是△ABC内一点（不含边界），且
·
=2
，∠BAC=300，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为x，y，z，记f (x，y，z)=
，则f(x，y，z)的最小值为··································( )

A. 26 B．32 C．36 D．48

12.已知集合M=
，若对于任意（x1，y1）∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“商高线”．给出下列四个集合：

①M=
；②M=
；③M=
；④M=
．

其中是“商高线”的序号是···························· ( )

A.①② B.②③ C.①④ D.②④

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普通高等学校招生全国统一考试猜题卷（二）

理科数学

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：

1．答题前，考生先在答题纸上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共6页，请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题纸上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.执行如图所示的程序框图，若输入x=0.1，则输出的m的值是__________________.

14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=3x+m（m为常数），则f(-log35)的值

为________________.

15.关于函数f(x)=2(sinx—cos x) cosx的四个结论：

P1: 最大值为
；

P2: 把函数f(x)=
的图象向右平移
个单位后可得到函数f(x)=2(sinx一

cosx)cosx的图象；

P3: 单调递增区间为
，k∈Z；

P4: 图象的对称中心为
，k∈z．

其中正确的结论有_________个．

16.已知数列{an}满足a1=
，an-1-an=
(n≥2)，则该数列的通项公式为_________________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A=
，sin B=3sin c．

（1）求tan C的值；

（2）若a=
，求△ABC的面积．

18．（本小题满分12分）某青少年研究中心为了统计某市青少年（18岁以下）201 5年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向，随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况，得到如下数据统计表（图①）：已知“超过2千元的青少年”与“不超过2千元的青少年”人数比恰好为2：3．

（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（图②）．

（2）该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向，从“压岁钱超过2千元的青少年”、“压岁钱不超过2千元的青少年”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设S为选取的3人中“压岁钱超过2千元的青少年”的人数，求?的分布列和数学期望．

（3）若以颇率估计概率，从该市青少年中随机抽取15人进行座谈，若15人中“压岁钱超过2千元的青少年”的人数为η，求η的期望．

19.（本小题满分12分）如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，ED∥FB，ED⊥平面

ABCD，AD=BD=2，BF=2DE=2

(1)求证：AE⊥CF；

(2)求二面角A-FC-E的余弦值．

20．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点
，譬在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程5

(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为
的直线L交椭圆C于A,B两点，求证：

为定值，

21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=-x3+x2(x∈R)，g(x)满足gˊ(x)=
（a∈R，x>0），且g(e)=a，e为自然对数的底数．

(1)已知h(x)=e1--xf (x)，求h(x)在(1，h(1))处的切线方程；

(2)若存在x∈[1，e]，使得g(x)≥一x2+（a+2）x成立，求a的取值范围；

(3)设函数F(x)=
，O为坐标原点，若对于y=F(x)在x≤一1时的图象上的任一点P，在曲线y=

F(x)(x∈R)上总存在一点Q，使得
·
，且PQ的中焦在y轴上，求a的取值范围，

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长

线于点D．

(1)求证：
=
；

(2)若AC=3，求AP·AD的值．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，z轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：
(a>0)，过点P（-4，-2）的直线L的参数方程为
（t为参数），L与C分别交于点M，N.

（1）写出C的直角坐标方程和L的普通方程；

（2）若
，
，
成等比数列，求a的值，

数学试题（二）第7页（共8页）

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)=lx--1l+ lx+1l.

（1）求不等式，f(x)≥3的解集；

（2）若关于x的不等式，f（x）?a2-x2 +2x在R上恒成立，求实数a的取值范围．

答案

1.B 解析：解法一：z=
=
=i

解法二：z=
=

2.A 解析：M=
，N=
，
M
N=[-2，4）

3.A解析：若采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，则需要分为50组，每组20人，若第一组抽到的号码为8，则以后每组抽取的号码分别为28，48，68，88，108，…，所以编号落入区间[1，400]的有20人，编号落入区间[401，750]的有18人，所烈做问卷C的有12人．

4.C解析：命题p为假命题，命题q为真命题，所以￢p
q为真命题．

5.C 解析：因为点A到抛物线C,的焦点的距离为p，所以点A到抛物线准线的距离为p，从而点A的坐标可

以为（
，±p），所以双曲线的渐近线方程为了y=±2x．所以
=2，所以b2=4a2．又b2=c2 -a2，所以c2= 5a2．

所以双曲线的离心率为

6．B解析：
的展开式中第r+1项为
．（-
）=(-1)r
，当
为正整数时，r=0或

2，所以
的展开式中含x的正整数指数幂的项数是2．

7．C解析：设等差数列{an}的公差为d，若a2+a5>0，则a1十a2=(a2 - d)+(a5 - 3d)=(a2 +a5）-4d，由于d的正负不确定，因而a1+a2的符号不确定，故选项A错误；

若a1+a3<0，则a1 +a2=（a1+a3）-d，由于d的正负不确定，因而a1+a2的符号不确定，故选项B错误；

若00,d>0,a2 >0,a3>0,a4>0,

所以
=
，a3>
，故选项C正确；

（a2 –a1）（a4 - a2）=d(2d) =2d2，由于d有可能等于0， 故选项D错误．

8．D 解析：连接PO，由题意知，PO⊥底面ABCD，PO=R，S正方彤ABCD== 2R2．

因为VP-ABC=
，所以
，解得R=2，所以球0的表面积是16
．

9．D解析：如图，作出不等式组表示的平面区域，由z= kx-y得y =kx-z，要使目标函数z=kr-y仅在点A(O，2)处取得最小值，则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方，所以目标函数的斜率A满足-3

10．D解析：由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥，其中从点A出发的三条棱两两垂直，且AB=1，PC=
，PB=a，BC=b，

则PA2 +AC2 =a2—1 +b2 -1=6，即a2+b2 =8.所以(a+b)2 =8+2ab≤8+2
，即a+b≤4，当且仅当a=b=2时取等号，此时，PA=
，AC=
.所以该几何体的体积V=
．

11.C解析：由
·
=2
．∠BAC=300得S△ABC=1，即x+y+z=1，

f(xyz)=
=14+

=14+4+6+12=36.当且仅当y=2x，z=3x，2z=3y，即x=
，y=
，z=
时取等号

12．D解析：如果对于函数图象上的任意一点M(x1，y1)，在其图象上都存在点N(x2，y2)使OM⊥ON，则函数图象上的点的集合为商高线．对于①，若取M(1，1)，则不存在这样的点；对于③，若取M(1，O)，则不存在这样的点．故选D．

13. 0 解析：若输入x=0.1，则m=lg 0.1= -1，因为m<0,
m= -1+1=0.所以输出的仇的值为0．

14. -4解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，
f(0)=1+m=0，
m= -1．
f(-log35)=-f(log3 5)=- (3log35 -1)=-4.

15. 2 解析：因为f(x)=2sinx·cosx
2cos2x=sin2x
cos2x
1=
，所以其最大值为

1，
P1错误

f(x)=
的图像向右平移
个单位后得到函数为f(x)=
=
，
P2错误

由
，k
Z得函数f(x)的单调递增区间为
，k
Z，
P3正确

由
=k
，k
Z，得x=
，k
Z，
P4正确

16.
解析：因为an-1-an=
(n
)，

，

.

.所以
，

，经检验，n=1时也适合此公式

17. 解(1)因为A=
，
B+C=

sin(
-C)=3sinC···········································2分

cosC+
sinC=3 sinC·····························4分

cosC=
sinC，
tanC=
·······················6分

(2)由
，sinB=3sinC得b=3c····························8分

ΔABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cosA=9c2+c2-2× (3c) ×c×
=7c2······10分

因为a=
，
c=1，b=3

ΔABC的面积为S=
bsinA=
·······················12分

18. 解：(1)根据题意，有
，解得
··········2分

p=0.15，q=0.10

(2)用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“压岁钱超过2千元的青少年”有10
=4人，“压岁钱不超过2千元的青少年”有10
=6人·············5分

故
的可能取值为0，1，2，3

P(
=0)=
，P(
=1)=
，P(
=2)=
，P(
=3)=
·····················7分

所以
的分布列为：

0

1

2

3



P













··············································10分

(3)以频率估计概率，从该市青少年中随机抽取1人为“压岁钱超过2千元的青少年”的概率为
，则η~B(15，
)，所以随机变量η的期望为E(η)=15×
=6················12分

19. (1)证明：方法一：由题意知，在ΔAEF，AE=
，EF=
，AF=
··············1分

AE2+EF2=AF2，
AE⊥EF.······································2分

在ΔAEC中，AE=
， EC=
，AF=
························3分

AE2+EC2=AC2，
AE⊥EC···········································4分

又EF
EC=E,
AE⊥平面ECF································5分

又平面ECF?FC，
AE⊥FC.···································6分

方法二：因为四边形ABCD是菱形，AD=BD=2，
AC⊥BD,AC=
···············1分

因为ED⊥平面ABCD,BD=2，BF=2，DE=2
，故可以O为坐标原点，以OA，OB所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系。················2分

则A(
，0,0)，E(0，-1，
)，C(-
，0,0)，F (0，1，2
)···············2分