杨浦高级中学高三三月月考数学试卷

2016.03

一. 填空题

1. 抛物线
的焦点坐标为

2. 已知全集
，集合
，则

3. 如果
，则
的取值范围是

4. 关于
的方程：
的解为

5. 不等式
的解集为

6. 向量
、
、
在正方形网格中的位置如图所示，

若
（
），则

7. 已知数列
满足
，
（
），则

8. 在
的展开式中，
的系数为

9.（理）在极坐标中，将圆
沿着极轴正方形平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转

弧度，则所得的曲线的极坐标方程为

（文）一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92，则其高

10. 5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车，小火车的车厢共有4节，设每一位乘客

进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2

人）的概率是

11. 已知定义在
上的函数
对于任意的
都满足
，当

时，
，若函数
至少有6个零点，则
的取值范围是

12.（理）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为
，得2分的概率为
（
），不

得分的概率为
，若他投篮一次得分
的数学期望
，则
的取值范围是

（文）设全集
，
，

，若
恒成立，则实数
的最大值是

13.（理）在实数集
中，我们定义的大小关系“
”为全体实数排了一个“序”，类似的，

我们在复数集
上，也可以定义一个称为“序”的关系，记为“
”，定义如下：对于任

意两个复数
，
（
），
，当且仅当“
”

或者“
，
”，按上述定义的关系“
”，给出如下四个命题：

①
；② 若
，
，则
；③ 若
，则对任意
，都有

；④ 对于复数
，若
，则
；

其中，真命题的序号为

（文）已知数列
满足：
（
为正整数），若
，若

，则
所有可能的取值构成的集合为

14.（理）符号
表示数列
的前
项和（即
），已知数列

满足
，
（
），记
（
），若
，

则当
取最小值时，

（文）在实数集
中，我们定义的大小关系“
”为全体实数排了一个“序”，类似的，

我们在复数集
上，也可以定义一个称为“序”的关系，记为“
”，定义如下：对于任

意两个复数
，
（
），
，当且仅当“
”

或者“
，
”，按上述定义的关系“
”，给出如下四个命题：

①
；② 若
，
，则
；③ 若
，则对任意
，都有

；④ 对于复数
，若
，则
；

其中，真命题的序号为

二. 选择题

15. 在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第

一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分

别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中

间一组（即第五组）的频数为（ ）

A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

16. 已知
为双曲线
（
）的一个焦点，则点
到
的一条渐近线

的距离为（ ）

A.
B.
C.
D.

17. 将函数
（
）的图像向左平移
（
）个单位长度后所得

到的图像关于
轴对称，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

18. 在半径为
的球内有一内接正三棱锥，底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点

从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）

A.
B.
C.
D.

三. 解答题

19. 如图，已知四棱锥
，底面是边长为6的正方形
，
，
面
，点
是
的中点，点
是
的中点，连接
、
、
；

（理）（1）求证：
；

（2）求二面角
的大小；

（文）（1）求证：
；

（2）求异面直线
与
所成角的大小；

20. 已知向量
和向量
，且
∥
；

（1）求函数
的最小正周期和最大值；

（2）（理）已知△
的三个内角分别为
、
、
，若
，
，

求△
面积的最大值；

（文）已知△
的三个内角分别为
、
、
，若有
，
，

，求
的长度；

21. 某地拟模仿如图建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示，曲线
是以点
为圆心的圆的一部分，其中
，曲线
是抛物线
（
）的一部分，
，且
恰好等于圆
的半径；

（1）若要求
米，
米，求
与
的值；

（2）当
时，若要求体育馆侧面的最大宽度
不超过45米，求
的取值范围；

22. 已知
，每一行都是首项为1的等差数列，第
行的公差为
，

且每一列也是等差数列，设第
行的第
项为
（
，
，
）；

（1）证明：
、
、
成等差数列，并用
、
、
表示
（
）；

（2）当
，
时，将数列
分组如下：（
），（
，
，
），（
，
，
，

，
），…（每组数的个数构成等差数列），设前
组中所有数之和为
（
），

求数列
的前
项和
；

（3）在（2）的条件下，设
且
，当
时，求使得不等式

恒成立的所有
的值；

23. 如图，圆
与直线
相切于点
，与
正半轴交于点
，与直线

在第一象限的交点为
，点
为圆
上任一点，且满足
，以
、
为坐

标的动点
的轨迹记为曲线
；

（1）求圆
的方程及曲线
的方程；

（2）若两条直线
和
分别交曲线
于点
、
和
、
，求四边

形
面积的最大值，并求此时的
的值；

（3）（理）根据曲线
的方程，研究曲线
的对称性，并证明曲线
为椭圆；

（2）（文）已知曲线
的轨迹为椭圆，研究曲线
的对称性，并求椭圆
的焦点坐标；

参考答案

一. 填空题

1.
2.
3.
4.
5.

6.
7.
8.
9.（理）
（文）

10.
11.
12.（理）
（文）

13.（理）① ② ③ （文）
14.（理）
（文）① ② ③

二. 选择题

15. C 16. A 17. B 18. C

三. 解答题

19.（1）证明略；（2）（理）
；（文）
；

20.（1）函数
的最小正周期为
，最大值为