2016年高考押题卷（1）【江苏卷】

数学试题

一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）

1．设集合
，
，则
=

【命题意图】本题考查集合交集的概念等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．

【答案】

【解析】


=
.

2. 已知
为虚数单位
，则

【命题意图】本题考查复数的运算，复数概念等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．

【答案】1

【解析】

3. 已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为

【命题意图】本题考查圆锥体积、圆锥展开图等基础知识，意在考查基本运算能力．

【答案】
π

4. 袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为

【命题意图】本题考查古典概型概率基础知识，意在考查学生的基本运算能力和逻辑推理能力.

【答案】

【解析】从中4个球中任取两个球共有6种基本事件，其中两个球颜色相同包含两种基本事件，故概率为
.

5. 下图是一个算法流程图，则输出的
的值是

【命题意图】本题考查算法流程图、简单的不等式运算基础知识，意在考查基本概念，以及基本运算能力．

【答案】
.

【解析】第一次循环：
，第二次循环：
，第三次循环：
，结束循环，输出

6. 已知双曲线
的一个焦点为
，直线
与双曲线右支有交点，则当双曲线离心率最小时双曲线方程为

【命题意图】本小题主要考查双曲线的离心率，双曲线标准方程等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力．

【答案】

7. 若实数
满足约束条件
则目标函数
的最小值为

【命题意图】本题考查线性规划求最值基础知识，意在考查学生的基本运算能力．

【答案】

【解析】可行域为
及其内部，其中
直线
过点
时取最小值
.

8. 设等比数列
的前
项和为
，若
则

【命题意图】本题考查等比数列的性质及求和等基础知识，意在考查分析能力及基本运算能力．

【答案】
.

【解析】由题意得
，
，所以

9. 将函数
的图像向左平移
个单位长度后，所得的图像关于
轴对称，则
的最小值是

【命题意图】本题考查三角函数图像与性质等基础知识，意在考查基本运算能力.

【答案】

10. 若实数
满足
，且
，则
的最小值为

【命题意图】本题考查基本不等式求最值基础知识，意在考查分析问题和解决问题能力以及运算求解能力．

【答案】

【解析】因为
，所以
当且仅当时
，即
取等号，因此
的最小值为
.

11. 若函数
在定义域的某个子区间
上不具有单调性，则实数
的取值范围为

【命题意图】本题考查函数的图象和性质的综合运用等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力．

【答案】
.

【解析】函数
的图象如图，
或
，解得
或
.

12. 已知实数
满足
，
，则
的取值范围为

【命题意图】本题考查三角函数最值等基础知识，意在考查学生分析能力及基本运算能力．

【答案】

13. 已知圆
，直线
，点
在直线
上．若存在圆
上的点
，使得
（
为坐标原点），则
的取值范围为

【命题意图】本题考查正弦定理、直线与圆的位置关系基础知识，意在考查运用数形结合思想、分析问题和解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．

【答案】

【解析】在
中，设
，由正弦定理，得
，即
，得
，

即
，解得
.

14. 已知函数
，若存在两条过点
且相互垂直的直线与函数
的图像都没有公共点，则实数
的取值范围为

【命题意图】本题考查函数与方程、函数图像与性质基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．

【答案】

二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15. （本小题满分14分）已知
．

（1）若
，求
的值；

（2）若
，且
，求
的值．

【命题意图】本题考查平面向量的数量积、两角和与差的三角函数、同角三角函数关系式等基础知识，意在考查分析问题和解决问题的能力、基本运算能力．

16. （本小题满分14分）如图，在正三棱锥
中，
，
分别为
，
的中点.

（1）求证：
平面
；

（2）求证：平面
平面
.

【命题意图】本题考查线面平行及面面垂直的判定定理等基础知识，意在考查空间想象能力、分析问题和解决问题的能力、推理论证能力.

【解析】（1）连接
交
于点
，连接OF，

为
中点，

，

为
中点，

，

，
四边形
是平行四边形， ………4分

，又
平面
，
平面
，

平面
.……7分

17. （本小题满分14分）如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角
．

（1）求BC的长度；

（2）在线段BC上取一点P(点P与点B，C不重合)，从点P看这两座建筑物的张角分别为
，
，问点P在何处时，
最小？



【命题意图】本题考查解三角形、两角和的正切公式、基本不等式的应用等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，分析问题和解决问题的能力，以及运算推理能力．

【解析】(1)如图作
于
．因为
,

所以
.

设
，因为
,所以
.

在
和
中，因为
， ………………………4分

所以
,化简整理得
，

解之得
．所以
的长度是
． ………………………7分

(2)设
，所以
………………………9分

则
………14分
,当且仅当
，即
时，
取最小值． ……15分

答：
在距离
点
时,
最小． ………………………16分

18. （本小题满分16分）已知椭圆C :
, 经过点P
，离心率是
.

（1）求椭圆C的方程；

（2） 设直线
与椭圆
交于
两点，且以
为直径的圆过椭圆右顶点
，求证：直线l恒过定点．

【命题意图】本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，意在考查基本的运算能力、分析问题和解决问题的能力．

将①②代入③，得
，

解得
或
（舍）．

综上，直线
经过定点
…………………14分

19. （本小题满分16分）已知函数
，
.[学科

网 ]（1）若
，则
，
满足什么条件时，曲线
与
在
处总有相同的切线？

（2）当
时，求函数
的单调减区间；

（3）当
时，若
对任意的
恒成立，求
的取值的集合.

【命题意图】本小题主要考查利用导数求切线方程，利用导数求单调区间及最值，不等式恒成立等基础知识，考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．

（2）由
，
，

，

， ………7分

由
，得
，
，

当
时，函数
的减区间为
，
；

当
时，函数
的减区间为
；

当
时，函数
的减区间为
，
. ………10分

（3）由
，则
，

，

①当
时，
，函数
在
上单调递增，

又
，

时，
，与函数
矛盾，………12分

②当
时，
，
；
，
，

函数
在
单调递减；
单调递增，

20. （本小题满分16分）等差数列
的前
项和为
，已知
，
.

（1）求
；

（2）若从
中抽取一个公比为
的等比数列
，其中
，且
，
.

①当
取最小值时，求
的通项公式；

②若关于
的不等式
有解，试求
的值.

【命题意图】本题考查等差数列和等比数列综合应用，等差数列前n项和公式，数列单调性等基础知识，意在考查学生灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．

【解析】（1）设等差数列的公差为
，则
，解得
，……2分

所以
. ………4分

（2）①因为数列
是正项递增等差数列，所以数列
的公比
，

若
，则由
，得
，此时
，由
，

解得
，所以
，同理
； ……6分

若
，则由
，得
，此时
，

另一方面，
，所以
，即
， ………8分

所以对任何正整数
，
是数列
的第
项．所以最小的公比
．

所以
． ………10分

附加题部分

21.【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD与⊙O相切，割线DM与⊙O相交于点M，N，若∠B=30°，AC=1，求DMDN

【命题意图】本题主要考查切割线定理等基础知识，意在考查学生平面几何推理证明和逻辑思维能力.

B．【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知曲线
：
，若矩阵