2016年江苏数学高考试题

数学Ⅰ试题

参考公式

圆柱的体积公式：
=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高。

圆锥的体积公式：

Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高。

填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合
则
________▲________.

2.复数
其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________.

3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线
的焦距是________▲________.

4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.

5.函数y=
的定义域是 ▲ .

6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 ▲ .

7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .

8.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=
3，S5=10，则a9的值是 ▲ .

9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 ▲ .

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆
的右焦点，直线
与椭圆交于B，C两点，且
,则该椭圆的离心率是 ▲ .

(第10题)

11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ ?1,1)上，
其中
若
，则f（5a）的值是 ▲ .

12. 已知实数x，y满足
，则x2+y2的取值范围是 ▲ .

13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
，
，则
的值是 ▲ .

14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 ▲ .

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（本小题满分14分）

在
中，AC=6，

（1）求AB的长；

（2）求
的值.

16.(本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且
，
.

求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

17.（本小题满分14分）

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥
，下部分的形状是正四棱柱
(如图所示)，并要求正四棱柱的高
的四倍.

若
则仓库的容积是多少？

若正四棱柱的侧棱长为6m,则当
为多少时，仓库的容积最大？

18. （本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:
及其上一点A(2，4)

设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；

设点T（t,o）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得
,求实数t的取值范围。

19. （本小题满分16分）

已知函数
.

设a=2,b=
.

求方程
=2的根;

若对任意
,不等式
恒成立，求实数m的最大值；

（2）若
，函数
有且只有1个零点，求ab的值。

20.（本小题满分16分）

记
.对数列
和
的子集T，若
,定义
;若
，定义
.例如：
时，
.现设
是公比为3的等比数列，且当
时，
.

求数列
的通项公式；

对任意正整数
，若
，求证：
；

（3）设
,求证：
.

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.

B.【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）

已知矩阵
矩阵B的逆矩阵
，求矩阵AB.

C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为
（t为参数），椭圆C的参数方程为
（
为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.

D.设a＞0，|x-1|＜
，|y-2|＜
，求证：|2x+y-4|＜a.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22. （本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；

②求p的取值范围.

23.（本小题满分10分）

（1）求
的值；

（2）设m，n
N*，n≥m，求证：

（m+1）
+（m+2）
+（m+3）
+…+n
+（n+1）
=（m+1）
.

参考版解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

已知集合
，
，则
．

；

由交集的定义可得
．

复数
，其中
为虚数单位，则
的实部是 ．

5；

由复数乘法可得
，则则
的实部是5．

在平面直角坐标系
中，双曲线
的焦距是 ．

；

，因此焦距为
．

已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ．

；

，
．

函数
的定义域是 ．

；

，解得
，因此定义域为
．

如图是一个算法的流程图，则输出
的值是 ．

9；

的变化如下表：

1

5

9





9

7

5



则输出时
．

将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有
个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．

；

将先后两次点数记为
，则共有
个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有
六种，则点数之和小于10共有30种，概率为
．

已知
是等差数列，
是其前
项和．若
，
，则
的值是 ．

；

设公差为
，则由题意可得
，
，解得
，
，则
．

定义在区间
上的函数
的图象与
的图象的交点个数是 ．

7；

画出函数图象草图，共7个交点．

如图，在平面直角坐标系
中，
是椭圆
的右焦点，直线
与椭圆交于
两点，且
，则该椭圆的离心率是 ．

；

由题意得
，直线
与椭圆方程联立可得
，
，由
可得
，
，
，则
，由
可得
，则
．

设
是定义在
上且周期为2的函数，在区间
上
 其中
，若
，则
的值是 ．

；

由题意得
，
，由
可得
，则
，则
．

已知实数
满足
则
的取值范围是 ．

；

在平面直角坐标系中画出可行域如下

为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中
点距离原点最近，此时距离为原点
到直线
的距离，
，则
，图中
点距离原点最远，
点为
与
交点，则
，则
．

如图，在
中，
是
的中点，
是
上两个三等分点，
，
，则
的值是 ．

；

令
，
，则
，
，
，则
，
，
，
，
，
，则
，
，
，由
，
可得
，
，因此
，因此
．

在锐角三角形
中，
，则
的最小值是 ．

8；

由
，
，可得
（*），由三角形
为锐角三角形，则
，在（*）式两侧同时除以
可得
，又
(#)，则
，由
可得
，

令
，由
为锐角可得
，

由(#)得
，解得

，
，由
则
，因此
最小值为
，当且仅当
时取到等号，此时
，
，解得
（或
互换），此时
均为锐角．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（本小题满分14分）

在
中，
，
，
．⑴ 求
的长；⑵ 求
的值．

⑴
；⑵
．

，
为三角形的内角

，即：
；

又
为三角形的内角

．

（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱
中，
分别为
的中点，点
在侧棱
上，且
，
．

求证：⑴ 直线
平面
；

⑵ 平面
平面
．

见解析；

为中点，
为
的中位线

又
为棱柱，

，又
平面
，且

平面
；

为直棱柱，
平面

，又

且
，
平面

平面
，

又
，
平面

又
平面
，

又
，
，且
平面

平面
，又

平面
平面
．

（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥
，下部分的形状是正四棱柱