2015-2016学年度(上)高三理科数学期末考试

第I卷（选择题，共60分）

选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

设全集
，
，
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2、已知i是虚数单位，复数
=（　　）

A．i﹣2 B．i+2 C．﹣2 D．2

3、已知
，y
，
，则（　　）

A．
B．
C．
D．

4、执行如图的程序框图,若
,则输出的
（ ）

A．
B．
C．
D．

5、已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）

A．48cm3 B．98cm3 C．88cm3 D．78cm3

6、若
满足约束条件
且向量
，
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7、在公差不为零的等差数列{an}中，
，数列
是等比数列，且
，则
的值为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．1

8、若
，
，命题
直线
与圆
相交；命题
，则
是
的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9、若先将函数
图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向左平移
个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

10、在
中，
为中线
上一个动点，若
，则
的最小值是（ ）

A．2 B．-1 C．-2 D．-4

11、设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有
恒成立，则不等式
的解集是（　　）

A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2）

C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）

12、过曲线C1：
的左焦点F1作曲线C2：
的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：
于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|=|MN|，则曲线C1的离心率为（　　）

A．
B．
﹣1 C．
+1 D．

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13、二项式
的展开式中的常数项为 ．

14、由曲线y=
，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为 ．

15、在
中，
，
，
分别为角
，
，
的对边，且满足
，若
，则
的面积的最大值是 ．

16、设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有
且当x∈[﹣2，0]时，
，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程
恰有3个不同的实数根，则
的取值范围是___________．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.(本题满分12分)

在等差数列
中，
，
，其前
项和为
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设数列
满足
，求数列
的前
项和
．

18.(本题满分12分)

甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班各出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为
,乙队每人答对的概率都为
.设每人回答正确与否相互之间没有影响，用
表示甲队总得分.(1)求随机变量
的分布列及其数学期望
；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.

(本题满分12分)

如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（1）求证：AD⊥BM；

（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为
．

20.(本题满分12分)

设椭圆
：
，
，
分别是椭圆的左右焦点，过椭圆右焦点
的直线
与椭圆
交于
，
两点．

（1）是否存在直线
，使得
，若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由；

（2）若
是椭圆
经过原点
的弦，且
，求证：
为定值．

21.(本题满分12分)

已知函数
．

（1）当m=1时，判断方程
在区间（1，+∞）上有无实根．

（2）若x∈（1，e]时，不等式
恒成立，求实数m的取值范围．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．(本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

已知
中，
为
外接圆劣弧
上的点（不与点
．
重合），延长
，延长
的延长线于
．

（1）求证：
；

求证：
．

23．(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线
的参数方程为
（t为参数，
），曲线C的极坐标方程为

（1）求曲线C的直角坐标方程。

设直线
与曲线C相交于A，B两点，当
变化时，求
的最小值

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
，
．

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）对任意
，
恒有
，求实数
的取值范围．

参考答案

选择1-5BBDDB 6-10DBADC 11-12DD

填空13.112 14.
15.
16.（
，2）

解答题

17.
，

即
得
，
，

.

（Ⅱ）
，

，

.

18

19. （1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，

∴AM=BM=
，∴BM⊥AM，

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM
平面ABCM∴BM⊥平面ADM

∵AD
平面ADM∴AD⊥BM；

（2）建立如图所示的直角坐标系，设
，

则平面AMD的一个法向量
，
=（
，
，
），

设平面AME的一个法向量为
，

取y=1，得x=0，y=1，z=
，所以
=（0，1，
），

因为
求得
，所以E为BD的中点．

20. （1）由题可知，直线
与椭圆必相交，①当直线斜率不存在时，经检验不合题意，

②设存在直线
为
，且
，
，由
得
，
，
，

，故直线
的方程为
或
；

（2）设
，
，
，
，由（1）可得：

，由
消去
，并整理得：
，

，∴
为定值．

21. （Ⅰ）m=1时，令
，

，

∴h（x）在（0，+∞）上为增函数

又h（1）=0，∴f（x）=g（x）在（1，+∞）内无实数根

（Ⅱ）
恒成立，即m（x2﹣1）＜2x+2xlnx恒成立，

又x2﹣1＞0，则当x∈（1，e]时，
恒成立，

令
，只需m小于G（x）的最小值，

，

∵1＜x≤e，∴lnx＞0，

∴当x∈（1，e]时，G′（x）＜0，∴G（x）在（1，e]上单调递减，

∴G（x）在（1，e]的最小值为
，

则m的取值范围是

22（1）
；

∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ABC=∠CDF，又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；（2）由（1）得∠ADB=∠ABF，∵∠BAD=∠FAB，

∴△BAD∽△FAB，

根据割线定理

23（Ⅰ）由
，得
，所以曲线C的直角坐标方程为
;

（Ⅱ）将直线l的参数方程代入
，得
，设
两点对应的参数分别为
，则
，


，当
时，
的最小值为
．

24（1）当
时，
，

的解集为
．

(2)
，

又有
，

由题意恒成立得，
，

解得
，
的取值范围为
．

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