西安中学2015年-2016学年度高三第四次质量检测试题

数学（理科平行）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合
，则
（ ）

A．
　B．
C．
D．

2.若
,则
是
的（ ）

A．　充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件

4.函数
的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．
（ ）

A．
B．
C．
D．　

6．已知函数
，函数
的图象关于直线
对称，那么
的值可以是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知
上可导函数
的图象如图所示，则不等式
的解集为（ ）

A．
B.

C．
D．

8．
是边长为2的等边三角形，已知向量
，满足
，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．如图，从气球
上测得正前方的河流的两岸
的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60
，则河流的宽度
等于（ ）

A．
　B．
C．
D．

10．已知
，且
，则
的值等于（ ）

A．
B．　
C．
D．

11．在
中，
为
中点，若
，则
的形状为（ ）

A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

12．已知函数
满足
，其导函数为
,当
时，
，若
，则
的大小关系为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.若
，则常数
的值为________．

14.已知命题“任意
”的否定为假命题，则实数
的取值范围是________．

15.函数
的递减区间为________．

16.已知点
在曲线
上，
为曲线在点
处的切线的倾斜角，则
的取值范围是________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线
的参数方程为
（其中
为参数）．现以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为
．（1）写出直线
和曲线
的普通方程；（2）已知点
为曲线
上的动点，求
到直线
的距离的最大值．

18.（本小题满分10分）已知函数
．（1）当
时，解不等式
；（2）若关于
的不等式
的解集为
，求证：
．

19.（本小题满分12分）已知
，记函数
．（1）求函数
的最小正周期；（2）求
单调递增区间．

20.（本小题满分12分）在边长为1的等边三角形
中，设
，（1）用向量
表示向量
和
，并求
；（2）求
在
方向上的射影．

21.(本小题满分12分)在
中，角
所对边分别为
，且
，（1）求
的值；（2）求
的值．

22.（本小题满分14分）已知函数
．

（1）若曲线
在
和
处的切线互相平行，求
的值；

（2）求
的单调区间；

（3）设
，若对任意
，均存在
，使得
，求
的取值范围．

参考答案

选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

B

C

D

C

A

D

A

A

D

C

B



填空题:

13．3 14．
15．
16．
或

三、解答题：

17．解：（1）由题，消去直线
参数方程中的参数
得普通方程为
．又由
得
，

由
得曲线
的直角坐标方程为
．　

（2）曲线
可化为
，

设与直线
平行的直线为
，

当直线
与曲线
相切时，有
，即
，

18．解：（1）当
时，不等式为
，

当
时，原不等式可化为
，解得
；

当
时，原不等式可化为
，解之得
，不满足，舍去；

当
时，原不等式可化为
，解之得
；

不等式的解集为
．

（2）
即
，解得
，而
解集是
，

所以
，解得
，

从而
，于是只需证明
，

即证
，

因为
，

所以
．

19．解：（1）
，

∴
．

（2）解：不等式
得

∴
，

单调递增区间为
．

20．解：（1）

；

（2）
，

在
方向上的射影
．

21．解：（1）因为
，所以在
中，由正弦定理得
．所以
，故
．

（2）由（1）知
，所以
．又因为
，所以
，所以
．

在
中，
，

所以
．

22．　解：
．

（1）
，解得
．

（2）
．

①当
时，
，

在区间
上，
；在区间
上
，

故
的单调递增区间是
，单调递减区间是
．

②当
时，
，在区间
和
上，
；在区间
上
，故
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
．　

③当
时，
，故
的单调递增区间是
．

④当
时，
，在区间
和
上，
；在区间
上
，故
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
．

（3）由已知，在
上有
．

由已知，
，由（2）可知，

当
时，
在
上单调递增，

故
，

所以，
，解得
，故
．

当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，

故
．

由
可知
，所以
，

综上所述，
．