会宁一中2016届高三第四次月考

数学试卷（理科）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．设集合
,
，若
，则
的取值范围是（ ）.

A．
B．
C．
D．

2. 下列命题正确的是(　　)

A．?x∈R，x2＋2x＋1＝0 B．?x∈R，－≥0

C．?x∈N*，log2x>0 D．?x∈R，cosx<2x－x2－3

3. 将函数
的图象向右平移
个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为( )

A.
B.

C.
D.

已知由不等式
确定的平面区域
的面积为7，则
的值（ ） A．
B．
C．
D．

5．设
表示不同的直线，
表示不同的平面，给出下列四个命题：

①若
∥
，且
则
；

②若
∥
，且
∥
.则
∥
；

③若
，则
∥m∥n；

④若
且n∥
,则
∥m.

其中正确命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

6．在各项均为正数的等比数列
中，
,则
( )

A． 8 B．6 C．4 D．

7. 下列各点中，能作为函数
（
且
，
）的一个对称中心的点是（ ）

.

.

.

.

8. 用数学归纳法证明不等
的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边（ ）

A.增加了一项
B.增加了一项

C.增加了
，又减少了

D.增加了
，又减少了

9.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有
，则(　　)

A．f(3)

C．f(－2)

10. 已知x>0，y>0，
，则＋的最小值是(　　)

A．2 B．2 C．4 D．2

11．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值是(　　)

A．最大值为3，最小值－1 B．最大值为7－2，无最小值

C．最大值为3，无最小值 D．既无最大值，又无最小值

12.对于任意两个正整数
,定义某种运算“※”如下:当
都为正偶数或正奇数时,
※
=
;当
中一个为正偶数,另一个为正奇数时,
※
=
．则在此定义下,集合
※
中的元素个数是（ ）

A．10个 B．18个 C．16个 D．15个

第Ⅱ卷

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）

13.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________________.

14.已知
，则f(1)+f(2)+...+f(2014)+f(2015)=_______________．

15.一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中主视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是________．

16．若定义在R上的偶函数
=
满足
=
，且当
∈(0,1]时，
=
，函数
=
，则函数
=
在区间[－4,4]内的零点的个数为 .

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

17.（满分12分）已知
.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．

18. （满分12分）已知函数
（其中
），求：
函数
的最小正周期;
函数
的单调区间;

函数
图象的对称轴和对称中心．

19．（满分12分）在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．

（1）已知数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式；

（2）若
，且数列{bn}的前n项和为Tn，若
，求数列{an}的公差．

20．(满分12分) 在直三棱柱
中，
∠ACB=90°,Ｍ是
的中点，Ｎ是
的中点

（Ⅰ）求证：MN∥平面
；

（Ⅱ）求点
到平面BMC的距离；

（Ⅲ）求二面角
的平面角

的余弦值大小。

21、（满分12分）设
.

(1) 当
时，
取到极值，求
的值；

当
满足什么条件时，
在区间[－，－]上有单调递增区间？

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明：DB＝DC；?

(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程为
(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x－3|．

（1）求不等式f（x）≤6的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）< |a－1 |的解集非空，求实数
的取值范围.

会宁一中2016届高三第四次月考

数学试卷（理科）参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

B

C

B

B

A

D

C

A

C

B

D



9.【解】若x2－x1>0，则f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)

∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，

∵3>2>1，∴f(3)

∴f(3)

【解】依题意得
，所以x＋3y＝1.

所以＋＝·(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝3y＝时，等号成立．故选C.

11【解】作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.

12【解】由于两个正整数
,定义某种运算“※”如下:当
都为正偶数或正奇数时,
※
=
;当
中一个为正偶数,另一个为正奇数时,
※
=
所以
※
中当
都为偶数时有（2,10），（10,2），（4,8），（8,4），（6，6）共5个元素；当
都是奇数时有（1,11），（11,1），（3,9），（9,3），（5,7），（7,5）；共有6个元素；当
为一奇一偶时有（1,12），（12,1），（3,4），（4,3）.综上共有15个元素.

二、填空题

13． 14．-1 15.2(1＋)π＋4 16. 5

13. 【解】如图，连接AC交BD于点O，连接C1O，过C作CH⊥C1O于点H，

???

CH⊥面BDC1，∴∠HDC为CD与面BDC1所成的角，

设AA1＝2AB＝2，OC＝，CC1＝2，OC1＝，CH＝＝，∴sin∠HDC＝＝.

14. 【解】由
的周期为4，且
，知
…
为
。故答案为：
。

15． 【解】　此几何体是半个圆锥，直观图如图所示，先求出圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝π×2×2＝4π，S底＝π×22＝4π，

S△SAB＝×4×2＝4，

所以S表＝＋＋4

＝2(1＋)π＋4.

三、解答题：

17.(满分12分) 【解】解不等式x2－8x－20>0得

p：A＝{x|x>10，或x<－2}．

解不等式x2－2x＋1－a2>0得

q：B＝{x|x>1＋a，或x<1－a，a>0}．

依题意，p?q但q?/ p，说明A�藼.

于是，有，且等号不同时取得，解得0

∴正实数a的取值范围是0

18.（满分12分）

【解】(1)
；

(2)增区间：
，减区间：
，其中
Z；

(3)对称轴方程：
对称中心：
，其中
Z。

19、（本题12分）【解】设等差数列{an}的公差为d，由a1，a4，a8成等比数列可得，
．即
，

∴
，而d≠0，∴a1=9d．

（1）由数列{an}的前10项和为45，得
，

即90d+45d=45，故d=
，a1=3，

故数列{an}的通项公式为
；

（2）
，

则数列{bn}的前n项和为Tn=

=
=
．

故数列{an}的公差d=1或d=﹣1．

(本题满分12分) 【解】（1）如图所示，

取B1C1中点D，连结ND、A1D∴DN∥BB1∥AA1

又DN＝

∴四边形A1MND为平行四边形。

∴MN∥A1 D

又 MN
平面A1B1C1 AD1
平面A1B1C1

∴MN∥平面
----------------------4分

因三棱柱
为直三棱柱， ∴C1 C ⊥BC，又∠ACB=90°

∴BC⊥平面A1MC1，在平面ACC1 A1中，过C1作C1H⊥CM，又BC⊥C1H，

故C1H为C1点到平面BMC的距离。在等腰三角形CMC1中，C1 C=2
,CM=C1M=

∴
.--------------------------8分

(3)在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E，A1C1于点F,

则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，

∴BE⊥C1M, ∴∠BEF为二面角B-C1M-A的平面角,

在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=
,∴tan∠BEC=
[.]

∴ cos∠BEC=
.又二面角
的平面角与∠BEC互补，

所以二面角
的余弦值为
--------------------12分

法2：（1）同上。如图所示建系，

（2）可得，
,
,设
是平面BMC的法向量，C1点到平面BMC的距离h。

可求得一个法向量为
，
,
------------------------8分

（3）可知
是平面
的法向量，设
是

平面
的法向量，求得一个法向量

设
是为二面角
的平面角,则
，又因为二面角
的平面角是钝角，所以
。-------------------12分

21、（本题12分）【解】(1)由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，

且f′(x)＝－2ax－1＝，

由题意得：f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，得
. …4分

又当
时，f′(x)＝＝，

当01时，f′(x)>0，

所以f(1)是函数f(x)的极大值，所以
. …6分

(2)解法一：要使f(x)在区间[－，－]上有单调递增区间，

即要求2ax＋(2a＋1)>0在区间[－，－]上有解，

①当a＝0时，不等式恒成立；

②当a>0时，得x>－，此时只要－<－， 解得a>0；

③当a<0时，得x<－，此时只要－>－，解得－1

综上所述，
． …12分

解法二：要使f(x)在区间[－，－]上有单调递增区间，

即
在区间[－，－]上有解

即要求2ax＋(2a＋1)>0在区间[－，－]上有解，

即在区间[－，－]上，

而
在区间[－，－]单调递增，所以

综上所述，
．

22【解】(1)证明：连结DE，交BC于点G.

由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.

而∠ABE＝∠CBE，

故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.

又因为DB⊥BE，

所以DE为直径，∠DCE＝90°，

由勾股定理可得DB＝DC.

(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，

故DG是BC的中垂线，

所以BG＝
.

设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.

从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，

所以CF⊥BF，

故Rt△BCF外接圆的半径等于
.

23【解】(1)将
消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，

即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.

将
代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

由
解得
或

所以C1与C2交点的极坐标分别为
，
.

24【解】（Ⅰ）原不等式等价于

或

解之得
，

即不等式的解集为
.……………………………………………………（5分）

（Ⅱ）
，

，解此不等式得
.…………………………………………（10分）

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