衡阳县一中2016届高三元月月考数学（理）试卷

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分

考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.已知集合
，
，则集合
的真子集的个数为（ ）

A. 4 B.5 C.6 D. 7

2.已知
为虚数单位，
，
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

3.已知定义在
上的偶函数
，则不等式
的解集为（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 已知各项均为正数的等比数列
，
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.
.

5.下列关于命题正确的个数为( )

①命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”；

② “
”是“函数
在区间
上为增函数”的充分不必要条件；

③若p
q为真命题，则p
q为真命题。

④命题“
”的否定是“
”

⑤当
时，恒有
.

A.1 B.2 C.3 D.4

6.已知双曲线
的一条渐近线方程为
，双曲线的左右焦点分别为
，点P为双曲线的右支上的一点，且满足
，则

双曲线的方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

7.已知某几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A.
B.
C.
D

8.已知一组数据
的方差为
，则在二项式
的展开式所有项中任取一项，取到有理项的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.已知把函数
的图像向右平移
个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，再向下平移
个单位，得到函数
，则函数
从原点起与
轴的正半轴，直线
围成的面积为（ ）

A 2 B.
C.
D.

10.已知实数
满足
，若目标函数
，
,则

的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

11.已知
的方程为
，
，在圆M上任取一点P，向
作切线
，切点为A，B，则
的最大值为（ ）

A
B.
C .
D.

12.已知椭圆
，经过点
作两条关于直线
对称的直线分别交椭圆于
两点，则直线BC的斜率
为（ ）

A. 1 B.
C.
D.不能确定

第Ⅱ卷（本卷均为必考题）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）

13.已知
，当
时，

14.已知关于
不等式
恒成立，则实数
的取值范围为

15.已知偶函数
满足
，且当
时，
，则函数
的零点的个数为

16.已知函数
，
（
为常数），若函数
在
为单调函数，则
的取值范围为

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）

已知
，

（1）试求函数
的单调递增区间

（2）在锐角△ABC中，△ABC的三角
所对的边分别为
，且
，且
，求
的取值范围.

18. （本题满分12分）

已知正项等比数列
前
项和为
，且满足
，
成等差数列.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
，且数列
的前
项的和
，试比较
与
的大小.

19. （本小题满分12分）

2015年高考结束，某学校对高三毕业生的高考成绩进行调查，高三年级共有1到6个班，从六个班随机抽取50人，对于高考的考试成绩达到自己的实际水平的情况，并将抽查的结果制成如下的表格，

班级

1

2

3

4

5

6



频数

6

10

12

12

6

4



达到

3

6

6

6

4

3



(1).根据上述的表格，估计该校高三学生2015年的高考成绩达到自己的实际水平的概率；

(2).若从5班、6班的调查中各随机选取2同学进行调查，调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为
，求随机
的分布列和数学的期望值.,

20. (本小题满分12分)

已知在多面体
中，底面ABCD为矩形，
，且
且
，E为BC的中点

（1）求证：

（2）求二面角
的余弦值.

21.（本小题满分12分）

已知直线

与圆
相交的弦长为椭圆

的长轴长，且椭圆的离心率为
， 若抛物线

的焦点与椭圆的焦点重合.

（1）求该椭圆的方程和抛物线的方程

（2）.若过抛物线C的焦点且与直线
平行的直线交抛物线于M,N两点，点P为直线
上的动点，试求
的最小值.

(本小题满分12分)

己知函数
，

(1).讨论函数f（x）的单调性；

(2).若
时，对
都有
成立，试求实数
的取值范围

月考参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

D

A

D

A

B

C

C

B

D

B



二、填空题、

13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】18

16. 【答案】

三、解答题

17. 【答案】（1）单调递增区间为
；（2）
. 【解析】（1）

函数的单调递增区间
，

所以单调递增区间为

（2）
可得
或
，可得
或
(舍去)

，故

18. 【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）见解析.

【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为
，因为
成等差数列，

所以
，所以
.………3分

因为
，所以
，又
.

由
，解得
，所以通项公式为
．

（Ⅱ）
--------------------9分

所以

所以
.

19. 【答案】（1）
;（2）分布列为

0

1

2

3
















.

【解析】（1）因为调查的50人中达到实际的水平有：
（人），

所求的概率为
.

（2）调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为
，则

当
；

，

所求的分布列为

0

1

2

3
















.

20. 【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）取SD的中点
，连接PF，过F作
交
于Q，连接QC，

，

为SD的中点，
为AD的中点，
，
，且
，所以
为平行四边形，
，又
，所以四边形
为平行四边形，

又

，
面SPD ∴
.

（2）

分别以AB，AD，AS所在的直线为
轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系
，则
，

设面BPS与面SPD的法向量分别为
，则

，可得
，
，取
可得
，

，
，取
可得

两平面的法向量所成的角的余弦值为
.

因为二面角
为钝角，该二面角的余弦值为
.

21. 【答案】（1）椭圆C的方程为
，抛物线的方程为
；（2）
.

【解析】

（1）圆心到直线的距离为
，

弦长为
，可知
，

，所求的椭圆C的方程为
，焦点为F
，所以
，抛物线的方程为
.

（2）过焦点F的直线为
，设
，

，
，

时，最小值为
.

22. 【答案】(1)见解析；（2）
.

【解析】(1)
的定义域为
.

当
时，
，故
在
单调递增

当
时，
，故
在
单调递减；

当
时，令
，解得

即
时，
；
时，

故
在
单调递增，在
单调递减;

（2）对
都有
成立，可知
，

根据（1）可知
为单调递增函数，
，

，所以在
为增函数，在
为单调减函数，

故所求的参数
的取值范围为
.

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