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株洲市2016届高三年级教学质量统一检测（一）

数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.复数z＝
的共轭复数是（ ）

A．2＋i B．
C．1+2i D．

2.下列有关命题的说法错误的是( )

A． 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”

B． “x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件

C． 若p∧q为假命题，则p、q均为假命题

D． 对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0

3.已知tan
=2，其中
是第三象限的角，则sin（π+
）等于（ ）

A．—
B.
C. —
D.

4．如图（1），AB是⊙
的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设
=
，
=
，则
=（　　）

　 A．

+
B．

-
C．
+

D．
-

5.在
的展开式中，常数项为( )

A．20 B．－20 C．15 D．－15

6.执行如图（2）所示的程序框图，若输出的结果为
，则输入的正整数
的可能取值的集合是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知函数
的最小正周期为
，且其图像向右平移
个单位后得到函数
的图像，则函数
的图像 ( )

A．关于直线
对称 B．关于直线
对称

C．关于点
对称 D．关于点
对称

8.已知袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个小球（取后放回），连取三次，则取得的小球的最大标号为3的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．已知一个圆的圆心在曲线
=
（x＞0）上，且与直线2x+y+1=0相切，则当圆的面积最小时，该圆的方程为（ ）

A.
B.

C.
D.

10.某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图（3）所示，则该四棱锥的体积等于（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

11.如图（4）所示，已知点P为双曲线
右支上一点，
分别为双曲线的左右焦点，且
，I为三角形
的内心，若
成立， 则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
有且只有一个零点，则k的值为（ ）

A．
B．
C．1 D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷上）

13.由曲线y=
与直线y=1围成的封闭图形的面积为　　　　　　．

14.若x、y满足约束条件
　，则
的取值范围是___________.

15.已知A、B、C是球
的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=600，且棱锥O—ABC的体积为
则球
的表面积为 。

16.在△
中,
,
,点
、
分别在边
、
上,
,
,且DE≥
,则∠ACB的最大值为 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

17.（本小题满分12分）已知等差数列｛
｝的前n项和为
，且
=2，
=45．

（I）求数列｛
｝的通项公式；

（II）若数列｛bn｝满足b1＝l，
=
（n∈N+），求数列{
}的前n项和Tn．

患病

未患病

总计



没服用药

20

30

50



服用药

x

y

50



总计

30

N

100





18．（本小题满分12分)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下数据的列联表：

设从没服药的动物中任取两只，未患病数为
；

（I）求出列联表中数据x，y，N的值及
的分布列；

（II）能够以
的把握认为药物有效吗？（参考数据如下）

（参考公式：
）

P(K2≥k0)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





19．（本小题满分12分）在边长为3的正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2(如图（5）)．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P(如图（6）)．

（I）求证：A1E⊥平面BEP； （II）求二面角B—A1P—E的余弦值．

20. （本小题满分12分）已知椭圆
：
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．

（I）求椭圆
的方程；（II）设
，过点
作与
轴不重合的直线
交椭圆
于
，
两点，连接
，
分别交直线
于
，
两点，若直线
、
的斜率分别为
、
，试问：
是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

21. （本小题满分12分）设函数
，其中
．

（I）若
，讨论
极值（用
表示）；

（II）当
，
=
，函数
，若
，
（
）满足
且
，证明：
．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4-l：几何证明选讲

如图（7），⊙
的半径为 6，线段
与⊙
相交于点
、
，
，
，
与⊙
相交于点
.

（I） 求
长； （II）当
时，求证：
.

23．（本小题满分10分）选修4 -4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为
,（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
．

（I）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（II）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4 -5：不等式选讲

设函数
．

（I）当
=2时，求不等式
＜4的解集；

（II）当
时，对于
，都有
≥3成立，求
的取值范围．

2016届株洲市高三检测试题参考答案及评分标准

(理科数学)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

1、 C; 2、C; 3、D; 4、A; 5、C; 6、C 7、B；8、B；9、A； 10、B； 11、D；12、B.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．
;14．[—2，4];15．48π; 16.750

三、解答题（本大题共6小题，共70分．）

17（本小题满分12分）

解：（I）an=n …………………4分

（2）bn=
n2—
n+1 …………………8分

Tn=
………………12分

18．（本题满分12分）解：（1）x=10，y=40，N=70 ………2分

ξ取值为0，1，2



∴
…………6分

（2）∵

故没有97.5%的把握认为药物有效 … ……12分

19．（本题满分12分）解:(1)在图（5）中，取BE的中点D，连结DF，

∵AE∶EB＝CF∶FA＝1∶2，∴AF＝AD＝2，而∠A＝60°，∴△ADF为正三角形．

又AE＝DE＝1，∴EF⊥AD.在图（6）中，A1E⊥EF，BE⊥EF，

∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的一个平面角，

由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥平面BEP； ………6分

(2)面EA1P的法向量
=（
,—1,0）；面BA1P的法向量
=（
，1,2
）

所以cos＜
，
＞=……=
，所以二面角B—A1P—E的大小的余弦值为
………12分

20. （本题满分12分）

解：（1）由题意得
解得
故椭圆
方程为
…4分

（2）设
，
，直线
的方程为
，由

得
．∴
，
，

由
，
，
三点共线可知，
，所以
；

同理可得
,所以

．

因为

，

所以

…12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）函数
的定义域为
，∵a=b ∴

∴
=
+
，∴
=
+
=

①当
时，f（x）=0，所以函数f（x）无极值；

②当
时，f（x）在（0，
）和（1，+∞）单调递增，在（
，1）单调递减，

∴f（x）的极大值为f（
）= -aln2+
a，f（x）的极小值为f（1）=0；

③当
时，f（x）在（0，
）和（1，+∞）单调递减，在（
，1）单调递增，

∴f（x）的极小值为f（
）= -aln2+
a，f（x）的极大值为f（1）=0；

综上所述：

当
时，函数f（x）无极值；

当
时，函数f（x）的极大值为-alna，函数f（x）的极小值为0；

当
时，函数f（x）的极小值为-alna，函数f（x）的极大值为0。……………5分

（2）
，
．

假设结论不成立，则有

由①，得
，∴
，

由③，得
，∴
，即
，即
．④

令
，不妨设
，
（
），则
，

∴
在
上增函数，
，∴④式不成立，与假设矛盾．　

∴
． ……………12分

22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

【解析】（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OCA=∠ODB．

∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴
，∵OC=OD=6，AC=4，

∴
，∴BD=9． ……………5分

（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．

∴∠AOD=1800—∠A—∠ODC=1800—∠COD—∠OCD=∠ADO．∴AD=AO…