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株洲市2016届高三年级教学质量统一检测（一）

数学试题（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题。本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．答案要写在答题卷上．

1. 已知集合
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2. 命题“
”的否定是（ ）

3. 已知复数
，则下列说法正确的是（ 　　）

　 A．z的共轭复数为1+i B． z的实部为1

　 C． |z|=2 D． z的虚部为﹣1

4. 设
,向量
且
,则
（　　 ）

A．
B．
C．
D．

5. 已知变量x、y满足
，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．若函数f(x)＝
＋x－k( k∈N )在区间(2，3)上有且只有一个零点，则k＝(　 　)

A．0 B．2 C．4 D．6

7． 设等比数列
的前
项和为
，已知
，且
，则
( )

A． 0 B． 2015 C．2016 D．2017

8. 如图是一个机器零件的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该机器零件的体积为（ ）

A．2+3
B．
C．
D．

9. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜
）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由y=sin2x图象( )

A．向左平移
个长度单位得到 B．向右平移
个长度单位得到

C．向右平移
个长度单位得到 D．向左平移
个长度单位得到

10. 执行如下图所示的程序框图，若输出的结果是5，则判断框内m的取值范围是( )

A．(6，12] B．(12，20] C．(20，30] D．(12，20)

11. 已知抛物线y2＝4x，椭圆
，它们有共同的焦点F2，若P是两曲线的一个公共点，且F1是椭圆的另一个焦点，则△PF1F2的面积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，若
有3个零点，则实数k的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷上．

13.某学校从A、B两个班级中各选出7名学生参加市级比赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中A班学生成绩的众数是85，B班学生成绩的中位数是83．则x+y的值为__________．

14.在棱长为2的正方体中随机取一点，该点落在这个正方体的内切球内的概率是___________.

15. 已知 F是双曲线C：

的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂直，垂足为A，交另一条渐近线于点B，F在线段AB上，
为坐标原点，若
，则双曲线C的离心率是_________________.

16. 已知等差数列
的首项为
，公差为
，其前
项和为
，若直线

与圆
的两个交点关于直线
对称，则数列
的前100

项和=____________________.

三．解答题：本大题满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查,结果如下: 女生:

睡眠时间(小时)













人数





8







男生:

睡眠时间(小时)













人数















（1）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取2人，求此2人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率;

（2）完成下面2×2列联表,并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？

睡眠时间少于7小时

睡眠时间不少于7小时

合计



男生









女生









合计











（
，其中
）

18．（本小题满分12分）已知锐角
的内角
所对边的长分别为
若向量
，且
．（1）求角
的大小；

（2）设
的面积是
，求
的周长.

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，

AB= BC=2，∠ABD=∠CBD=60° .

（1） 求证：BD⊥平面PAC；

（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积是
，∠BCD=90° ,

求点C到平面PBD的距离．

20、（本小题满分12分）已知抛物线：
与圆
：
交于
，
两点，
的面积为2.

（1）求圆
的方程；

（2）直线
与圆
相交于
两点．点
，记直线
的斜率分别为
，求
的最大值，并求此时直线
的方程．

21．（本小题满分12分）设函数
.

(1) 若
，求函数
的极值；

(2) 设
，若对于任意给定的
，方程
在
内有两个不同的实数根，求
的取值范围．（其中e是自然对数的底数）

请考生在22,23,24题中任选一题作答.如果多选，则按所做的第一题计分.

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙
的半径为 6，线段
与⊙
相交于点
、
，
，
，
与⊙
相交于点
.

（1） 求
长；

（2）当
时，求证：
.

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
,（
为参数），以原点
为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

（1） 求曲线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

（2） 设
为曲线
上的动点，求点
到曲线
上点的距离的最小值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

（1）当
时，求不等式f（x）＜4的解集；

（2）当
时，存在
使得
成立，求a的取值范围．

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株洲市2016届高三年级教学质量统一检测（一）

数学试题答案（文科）

总分：150分 时量：120分钟

一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.

1. 已知集合
，
，则
( A )

A．
B．
C．
D．

2. 命题“
”的否定是（ B ）

3.已知复数
，则（ D　　）

　 A．z的共轭复数为1+i B． z的实部为1

　 C． |z|=2 D． z的虚部为﹣1

4. 设
,向量
且
,则
（　B　）

A．
B．
C．
D．

5. 已知变量x、y满足
，则
的最大值为 （ C ）

A．
B．
C．
D．

6．若函数f(x)＝
＋x－k( k∈N )在区间(2，3)上有且只有一个零点，则k＝(　C 　)

A．0 B．2 C．4 D．6

7. 设等比数列
的前
项和为
，已知
，且
，则
( A )

A． 0 B． 2015 C．2016 D．2017

8. 如图是一个机器零件的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该机器零件的体积为（ B ）

A．2+3
B．
C．
D．

9. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜
）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由y=sin2x图象( C )

A．向左平移
个长度单位得到 B．向右平移
个长度单位得到

C．向右平移
个长度单位得到 D．向左平移
个长度单位得到

10. 执行如下图所示的程序框图，若输出的结果是5，则判断框内m的取值范围是( B )

A．(6，12] B．(12，20] C．(20，30] D．(12，20)

11. 已知抛物线y2＝4x，椭圆
，它们有共同的焦点F2，若P是两曲线的一个公共点，且F1是椭圆的另一个焦点，则△PF1F2的面积为 （ A ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，若
有3个零点，则实数k的取值范围是( D )

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

13．某学校从A、B两个班级中各选出7名学生参加市级比赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶如图所示，其中A班学生成绩的众数是85，B班学生成绩的中位数是83．则x+y的值为__________．8

14.在棱长为2的正方体中随机取一点，该点落在这个正方体的内切球内的概率

是___________.

15. 已知 F是双曲线C：

的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂直，垂足为A，交另一条渐近线于点B，F在线段AB上，
为坐标原点，若
，则双曲线C的离心率是_________________.

16. 已知等差数列
的首项为
，公差为
，其前
项和为
，若直线

与圆
的两个交点关于直线
对称，则数列
的前100

项和=______________________.

三、解答题（共6小题，总计70分）

17．（本小题满分12分）为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查,结果如下:女生:

睡眠时间(小时)













人数













男生:

睡眠时间(小时)













人数















（1）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取2人，求此2人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率;

（2）完成下面2×2列联表,并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？

睡眠时间少于7小时

睡眠时间不少于7小时

合计