2016届高三联考理科数学试题

时量：120分钟 总分：150分

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置）

1．设集合
，
则使M∩N＝N成立的
的值是（ ）

A.1　　　 B.－1 C.0 D.1或－1

2．已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于（ ）

A.1或－3 B.－1或3 C.1或3　 D.－1或3

3. 设等差数列
前
项和为
，若
，
，则公差为 （ ）

A.
B.
C.
D.

4.下列说法中，正确的是 ( )

A.命题“若
，则
”的否命题是假命题.

B.设
为两个不同的平面，直线
，则“
”是

“
” 成立的充分不必要条件

C.命题“存在
”的否定是“对任意

”.

D.已知
，则“
”是“
”的充分不必要条件.

5.已知一个空间几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 ( )

A．
B．
C．
D．

6．函数
的零点所在的区间是( )

A.
B.
C.
D.

7．已知双曲线的焦距为
，焦点到一条渐近线的距离为
，则双曲线的标准方程为 （ ） A.
B.

C.
或
D.
或

8.函数
的图象与
轴的交点坐标成一个公差为
的等差数列.要得到函数
的图象，只需要
的图象 ( )

A.向左平移
个单位 B.向右平移
个单位

C.向左平移
个单位 D.向右平移
个单位

9.空间四点A、B、C、D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6，则该球的体积为( )

A.32

B.48
C.64

D.16

10.抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1?x2=﹣
，则m等于 ( )

A.
B.2 C.
D.3

11.已知函数
若方程

有四个不同的实数根
,
,
,
，则
的取值范围为 ( )

A.
B.
C.
D.

12．已知定义在
上的函数
是奇函数且满足
，
，数列
满足
，且
，（其中
为
的前
项和）。则
( )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知
，则
＝_______．

14．若x，y满足约束条件
，则
的最大值为__________。

15.若函数
在区间
是减函数，则a的取值范围是 .

16．设集合M=

，对M的任意非空子集A，定义
为A中的最大元素，当A取遍M的所有非空子集时，对应的
的和为
，若
则：

①
=_______________，②
=__________________.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）

已知函数
（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．

（1）求ω的值；

（2）设
，
，
，

求cos（α+β）的值．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱柱ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB//DC，∠ABC＝45o，DC＝1，AB＝2，PA＝1．

(1)求PD与BC所成角的大小；

(2)求证：BC⊥平面PAC；

(3)求二面角A-PC-D的大小．

19.（本小题满分12分）

如果函数
在区间
上单调递减，求
的最大值。

20.（本小题满分12分）

已知数列{an}的首项a1＝
，an＋1＝
（n∈N*）

（1）设
＝
，求数列
的通项公式；

（2）求数列{
}的前n项和

21．（本大题满分12分）

已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线
与椭圆C相交于A、B两点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）求
的取值范围；

（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。

22．（本小题满分12分）

已知函数
,

(1)求
的极值；

(2)若对任意
，使得

恒成立，求实数a的取值范围；

(3)证明：对
，不等式

成立.

理科数学（参考答案及评分标准）

1—5 BADBB 6 –10 CCAAA 11---12 CC

13、
14.
15、
16. （1）21 （2）

17、（10分）

增区间（kπ-
，kπ+
），k
Z………………………………………5分

（2）当
时，
即
的值域是
……………10分

18．（12分）（Ⅰ）取的AB中点H，连接DH，易证BH//CD，且BD=CD………………………1分

所以四边形BHDC为平行四边形，所以BC//DH

所以∠PDH为PD与BC所成角………………………………2分

因为四边形，ABCD为直角梯形，且∠ABC=45o， 所以⊥DA⊥AB

又因为AB=2DC=2，所以AD=1， 因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形，所以PD=DH=PH=
，故∠PDH=60o ……………………………………………………………4分

（II）连接CH，则四边形ADCH为矩形， ∴AH=DC 又AB=2，∴BH=1

在Rt△BHC中，∠ABC=45o ，

∴CH=BH=1，CB=

∴AD=CH=1，AC=

∴AC2+BC2=AB2 ∴BC⊥AC…………………………………6分

又PA平面ABCD∴PA⊥BC ……………………………………7分

∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC …………………………………8分

（Ⅲ）如图，分别以AD、AB、AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：

A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，

∴
=(0，0，1)，
=(1，1，-1) …………………………9分

设m=(a，b，c)为平面PAC的一个法向量， 则
，

即

设
，则
，∴m=(1，-1，0) …………………10分同理设n=(x，y，z) 为平面PCD的一个法向量，求得

n=(1，1，1) …………………………………………………11分

∴

所以二面角A-PC-D为60o ………………………………… 12分

19 （12）当m=2时，0

当
时，抛物线的对称轴为
.据题意，

当
时，
即
.

…..6

由
且
得
.

当
时，抛物线开口向下，据题意得，
即
.
….8

由
且
得
，故应舍去.要使得
取得最大值，应有

….10

所以
，所以最大值为18……12

20. （12分） 解：（1）由an＋1＝
得：
＝
＋
，∴
＝
(
)，∴
＝

又
=
＝
－1＝
≠0，∴
≠0，∴
=
（常数），∴数列{
}是以
为首项，以
为公比的等比数列，∴
=
……………………………………………………6分

（2）由（1）知：
＝
，∴
＝
＋1，

∴
＝n＋
，

∴Sn＝
＋
＋…＋
＝（1＋2＋···＋n）＋[1×
＋2×(
)2＋···＋n×(
)n]，

令Tn＝1×
＋2×(
)2＋···＋n×(
)n，得：Tn＝2－
－
（“差比”数列求和）

∴Sn＝2－
＋
＝
－
…12分

21．（12分）(1)解：由题意知
，

∴
，即

又
，∴

故椭圆的方程为
…3 3分

(2)解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为

由
得：
由
得：

设A(x1，y1)，B (x2，y2)，

则
　　①…..6 6分∴

22、（12分）

I
，
，
，
…………4分

II

易知
，
，设

，设
，

，

，
上是增函数，

……………………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
恒成立，

令
，

取

相加得：

………………12分

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