2016届高三联考文科数学试题

(满分：150分，时量：120分钟）

选择题(本题共12小题,每题5分,共60分)

1、设全集
，集合
，则集合
=（ ）

A.
　　B.
C.
　 D.

2.下列命题中正确的个数是 （ ）

①命题“任意
”的否定是“任意
；

②命题“若
，则
”的逆否命题是真命题；

③若命题
为真，命题
为真，则命题
且
为真；

④命题”若
，则
”的否命题是“若
，则
”.

A.
个 B.
个 C.
个 D. 4个

3. 如右图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，

称为杨辉三角形，根据图中的[gkstk] 数构成的规律，

所表示的数是( )

A.2 B.4 C.6 D.8

4.若复数
满足，(3-4i)z=5，则
的虚部为( )

A．
B．
C．
D．

5.某几何体的三视图如下图所示,

则该几何体的体积为 ( )

A.
B.

C.
D.

6.
，且
，则
的最小值是（ ）.

A． 24 B． 16 C． 8 D． 4

7. 已知
是等比数列，
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
或
D．以上都不对

8．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则（ ）

A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B．f(1)＜f(－2)＜f(3)

C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2)

9．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2
2列联表进行独立性检验，经计算K2=7．069，则所得到的统计学结论为：有多大把握认为“学生性别与支持该活动有关系”是（ ）

P(K≥k0)

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001



k。

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828



附：

A. 0．1％ B. 1％ C. 99％ D. 99．9％

10.
，函数图象向右平移
个单位后得到的函数为奇函数，则
值等于 （ ）

A.
B.
C.
D. -

11.函数
，下列结论不正确的是( )

A. 此函数为偶函数 B. 此函数是周期函数

C．此函数既有最大值也有最小值 D．方程
的解为

12.在
中，已知
，
，若
点在斜边

上，且
，则
的值为( )

A．48 B．24 C．12 D．6

二、填空题（本题共4小题,每题5分,共20分）

13.设曲线
在点(2 ,1 )处的切线与直线
垂直，则
．

14．已知a=（1，2），b=（0，1），c=（一2，k），若（a+2b）⊥c，则k=

15.已知a＞0，x，y满足约束条件
，若z=2x+y的最小值为0，则a= ．

16.已知数列
满足
，则
的最小值为 ．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知
的三内角
所对的边的长分别为
.设向量
，
，且
.

（1）求
；

（2）若
，求
的面积．

18．（本小题满分12分）

函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜
）的部分图象如图所示，该图象与y轴交于点F（0，1），与x轴交于B，C两点，M为图象的最高点，且△MBC的面积为
．

（1）求函数f（x）的解析式及单调增区间；

（2）若f（a﹣
）=
，求cos2（a﹣
）的值．

19.（本小题满分12分）

已知数列
是公差大于零的等差数列，数列
为等比数列，且

.

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）设
，求数列
前
项和
．

20.（本小题满分12分）

某高三年级从甲（文）乙（理）两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩（满分：100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85分，乙组学生成绩的中位数是83分.

（1）求
和
的值；

（2）从成绩在90分以上的学生中随机取两名学生，

求甲组至少有一名学生的概率。

21.（本小题满分12分）

某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知
与
成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．

（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．

（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．

[Z-X-X-

22.（本小题满分12分）

已知函数
，
为常数.

（1）若函数
有两个零点
，且
，求
的取值范围；

（2）在（1）的条件下，证明：
的值随
的值增大而增大.



一、选择题(本题共12小题,每题5分,共60分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

C

B

A

D

C

B

C

C

D

B



9

二、填空题（本题共4小题,每题5分,共20分）

题号

13

14

15

16



答案

2



1







·

解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.

18. 解答： 解：（Ⅰ）∵S△ABC=
×
；

∴周期T=π，又∵
，∴ω=2…………………………………… 3分

由f（0）=2sinφ=1，得sinφ=
，

∵0＜φ＜
，∴φ=
．

∴f（x）=2sin（2x+
）． ……………………………… 5

由2kπ﹣
≤2x+
≤2kπ+
可得k

（k∈Z），

所以函数f（x）的调增区间为[kπ﹣
，kπ+
]（k∈Z）；……………………… 8分

（Ⅱ）由f（α﹣
）=2sin2α=
，得sin2α=
，……………………………… 10分

cos2（α﹣
）=
=
=
．…………………………… 12分

19.

20. 解（1）∵甲组学生的平均分是85，

∴
. ∴x=5. ………………………………2分

∵乙组学生成绩的中位数是83， ∴y=3. …………………………………… 4分

（2）甲组成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，

乙组成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E. ……………………6分

从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：

(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E) …………8分

其中甲组至少有一名学生共有7种情况：

(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E)

记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生”为事件M，

则
.…………………………………………………………………………12分

21. 考点： 函数模型的选择与应用．

专题： 应用题．

分析： （1）根据题中条件：“若已知
与
成正比”可设
，再依据售价为10元时，年销量为28万件求得k值，从而得出年销售利润y关于x的函数关系式．

（2）利用导数研究函数的最值，先求出y的导数，根据y′＞0求得的区间是单调增区间，y′＜0求得的区间是单调减区间，从而求出极值进而得出最值即可．

解答： 解：（1）设
，

∵售价为10元时，年销量为28万件；

∴
，解得k=2． …………………3分

∴
=﹣2x2+21x+18．

∴y=（﹣2x2+21x+18）（x﹣6）=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108．……………6分

（2）y'=﹣6x2+66x﹣108=﹣6（x2﹣11x+18）=﹣6（x﹣2）（x﹣9）

令y'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9

显然，当x∈（6，9）时，y'＞0当x∈（9，+∞）时，y'＜0

∴函数y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108在（6，9）上是关于x的增函数；…………10分

当x=9时，y最大值为y=135

售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元……………………12分

22. 解：（1）
的定义域为
.

，由
得：
；由
得：
.

故
在
上递增，在
上递减。

要使
有两个零点，则
，解得：
.……………5分

（2）
是
的两个零点，
，则
，.

设
，
，所以
在
上递增，在
上递减，故对任意]
，函数
图像与直线
都有两个交点.横坐标分别为
，且
，如下图：

……………………………………9分

任取
，设
，则有
，

，由
得：
，

在
上递增，

，同理得：
，所以
，

故
的值随
的值增大而增大. …………………12分

考试内容



题 号

容易题

题 号

中档题

题 号

难 题

题 号



分 值



集 合

1

1





5分



常用逻辑用语

2

2





5分



函 数

8、11、21



8、11

21（2）

22

16分



导 数

13、21、22

13

21（1）



23分



三角函数

10、17、18

17

10、18



27分



向 量

12、14



12、14



10分



复 数

4

4





5分



数 列

7、16、19

7、

19

16

22分



不等式

6、15、16

6

15



10分



统 计

9、20

9、20（1）

20（2）



17分



推理与证明

3

3





5分



立体几何

5

5





5分



总 计

22题

72分

55分

23分

150分



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