鹤壁市综合高中2016届高三（上）第四次模拟考试

数 学 试 卷（理）

一．选择题（每题5分）

1. 设集合A＝{0，1，2，3,4}，B＝
，则
＝（ ）

A.｛1，2，3，4｝　　 B. ｛2，3，4｝

C. ｛3，4｝　　　　　D. ｛
｝

2.若
（i为虚数单位），则z的共轭复数是 （ ）

A.
B.
C.
D.

3.设随机变量
服从正态分布
，则实数
等于 （ ）

A.
B.
C.5 D. 3

4. 若实数
满足约束条件
，则
的最大值是（ ）

A.1　　 B.2　 C.3　 　D.4

5.执行如图所示的程序框图，输出的k值为 （ ）

A.7 B.9

C.11 D.13

6. 已知
是
的一个内角，且
，则
的值为（ ）

A．
B．－
C．3 D．－3

7 . 已知
，
，则使
成立的一个充分不必要条件是（ ）

A．
B．

C．
D．

8. 函数f（x）=
的零点所在的大致区间是 （ ）

A．（1, 2） B．（e，3） C．（2，e） D．（e，+∞）

9.已知
是满足
，且使
取得最小值的正实数.若曲线
过点
，则
的值为 （ ）

A.
B.
C.2 D.3

10.椭圆
的左焦点为F，若F关于直线
的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为 （ ）

A．
B．
C．
D．
一l

11.
，若对于任意

[一1，1]都有
≥0，则实数a的取值范围为 （ ）

A．（-
, 2] B．[0+
） C．[0,2] D．[1,2]

12. 定义在
上的函数
满足下列两个条件：

①对任意的
恒有
成立；

②当
时，
．

记函数

，若
恰有两个零点，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.

C.
D.

二．填空题（每题5分）

13.圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，

其中俯视图是中心角为
的扇形，则该几何体

的体积为__________.

14.二项式
展开式中，
项的系数为

．

15. 在三角形ABC中，AB=2，AC=4，P是三角形ABC的外心，数量积
等于__________.

16. 在
中，角
所对的边分别为
，若
且

，则
面积的最大值为 ．

三．解答题

17. （本小题满分10分）已知函数
的图像关于直线
对称，且图像上相邻两个最高点的距离为
.

（I）求
和
的值；

（II）若
，求
的值.

18.（本小题满分12分）已知数列｛an｝的首项
,．

（I）证明：数列
是等比数列；

（II）设
，求数列
的前n项和Sn。

19.（本小题满分12分）如图，四面体
中，
是
的中点，
和
均为等边三角形，
.

(Ⅰ)求证：
平面
；

(Ⅱ) 求
点到平面
的距离；

(Ⅲ) 求二面角
的余弦值.

20. （本小题满分12分）某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计9月份30天内的拥堵天数．东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天，15天，9天，15天．假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率．

(Ⅰ)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；

（II）设
为一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求
的分布数学期望．

21.（本小题满分12分）已知曲线x2=-y+8与x轴交于A、B两点，动点P与A、B连线的斜率之积为-
．

(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；

（II）
是动点P的轨迹C的一条弦，且直线
、
的斜率之积为-
，求
的最大值．

22. （本小题满分12分）已知函数
（k∈R），

(Ⅰ)求函数
的单调区间；

(Ⅱ)若
恒成立，试确定实数
的取值范围.

(Ⅲ)证明：
且
.

鹤壁高中2016届高三第四次模拟考试

数学(理科)试卷答案

选择题（每题5分）

1--5 BDADC 6-10 BACBD 11-12 CD

填空题（每题5分）

2
14.
15.6 16.

解答题

17. （本小题满分10分）

解：（Ⅰ）因
的图象上相邻两个最高点的距离为
，所以
的最小正周期
，从而
.

又因
的图象关于直线
对称，所以

因
得

所以
.

（Ⅱ）由（1）得
,所以
.

由
得

所以

因此

=

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：
，
，

又
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
，

即
，

设
， ①

则
， ②

由①－②得，
，

，

又
，

∴数列
的前n项和
．

19．（本小题满分12分）

解法一：（I）证明：连结
，

为等边三角形，
为
的中点，

和
为等边三角形，
为
的中点，
，
.

在
中，

，
，

即
,
，
面

（Ⅱ）解：设点
到平面
的距离为
,

，

在
中，
，

而

点
到平面
的距离为
.

（Ⅲ）过
作
于
连结
，
平面
，

在平面
上的射影为

为二面角
的平角。

在
中，

二面角
的余弦值为
.

解法二：（I）同解法一.（Ⅱ）设平面
的法向量为

又

设
与
夹角为
， 则
,设
到平面
的距离为
，
到平面
的距离为

（Ⅲ）解：以
为原点，如图建立空间直角坐标系， 则

平面
，
平面
的法向量

设平面
的法向量

由

设
与
夹角为
，则
,

∴二面角
的余弦值为
.

20. （本小题满分12分）

解：（I）设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A，B，C，D．

则P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(D)＝＝

设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M，则

M＝BCD＋ACD＋ABD＋ABC．

则P（M）＝＋＋＋＝＝．

（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．

P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝，

P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝．

ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3

4



p













E（ξ）＝0＋1＋2＋3＋4＝＝．

21. （本小题满分12分）

解：：（I）解：在方程
中令y = 0得：
∴A(
，0)，B(
，0)

设P(x，y)，则

整理得：

∴动点P的轨迹C的方程为
.

（Ⅱ）解：①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为：y = kx + m，,M(x1，y1)，N(x2，y2).

由
得：

∴

∵
，∴

即

∴