郑州市2016年高中毕业年级第一次质量预测

理科数学试题卷

一、选择题：

1．设全集U＝{x∈N﹡｜x≤4}，集合A＝{1，4}，B＝{2，4}，则CU（A∩B）＝

A．{1，2，3} B．{1，2，4} C．{1，3，4} D．{2，3，4}

2．设z＝1＋i （i是虚数单位），则
－
＝

A．i B．2－i C．1－i D．0

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
＝
，则cosB＝

A．－
B．
C．－
D．

4．函数f（x）＝
在点（0，f（0））处的切线方程是

A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0

5．已知函数f（x）＝
－cosx，则f（x）在[0，2π]上的零点个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

6．按如下程序框图，若输出结果为273，则判断框内?处应补充的条件为

A．i＞7 B．i≥7 C．i＞9 D．i≥9

7．设双曲线
的一条渐近线为y＝－2x，且一个焦点与抛物线y＝
的焦点相

同，则此双曲线的方程为

A．
B．
C．
D．

8．正项等比数列{
}中的a1、a4031是函数f（x）＝
＋6x－3的极值点，则

A．1 B．2 C．
D．－1

9．右图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的

等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中

线，则该四面体的体积为

A．
B．
C．
D．2

10．已知函数f（x）＝x＋
，g（x）＝
＋a，若
∈[
，1]，
∈[2，3]，使得

f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是

A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2

11．已知椭圆
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于

A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为

A．
B．2－
C．
－2 D．
－

12．已知函数f（x）＝
若关于x的不等式[f（x）]2＋af（x）－b2＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值是

A．2 B．3 C．5 D．8

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．

13．二项式
的展开式中，
的系数是______________．

14．若不等式
≤2所表示的平面区域为M，不等式组
表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为____________．

15．△ABC的三个内角为A、B、C，若
＝tan（－
），则2cosB＋sin2C的最大值为_____________．

16．已知点A（0，－1），B（3，0），C（1，2），平面区域P是由所有满足
＝λ
＋μ
（2＜λ≤m，2＜μ≤n）的点M组成的区域，若区域P的面积为16，则m＋n的最小值为_____________．

三、解答题（满分70分）

17． 已知数列{
}的首项a1＝1，前n项和
，且数列{
}是公差为2的等差数列．

（Ⅰ）求数列{
}的通项公式；

（Ⅱ）若
＝
，求数列{
}的前n项和
．

18．某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：

周一

无雨

无雨

有雨

有雨



周二

无雨

有雨

无雨

有雨



收益

20万元

15万元

10万元

7．5万元



 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元． 已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0．36．

（Ⅰ）若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；

（Ⅱ）该基地是否应该外聘工人，请说明理由．

19． 如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD＝

∠ADC＝90°，AB＝AD＝
CD，BE⊥DF．

（Ⅰ）若M为EA中点，求证：AC∥平面MDF；

（Ⅱ）求平面EAD与平面EBC所成锐二面角的大小．

20． 已知点M（－1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N距离的
倍．

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．C，D两点均在x轴下方．当CD的斜率为－1时，求线段AB的长．

21． 设函数f（x）＝
－mlnx，g（x）＝
－（m＋1）x．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当m≥0时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答。如果多做。则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

22．选修4—l：几何证明选讲

如图，∠BAC的平分线与BC和△ABC的外接圆分

别相交于D和E，延长AC交过D、E、C三点的圆

于点F．

（Ⅰ）求证：EC＝EF；

（Ⅱ）若ED＝2，EF＝3，求AC·AF的值．

23．选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程为
曲线C2的极坐标方程为ρ＝
cos（θ－
）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．

（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．

24．选修4—5：不等式选讲

已知函数f（x）＝｜x－2｜－｜x＋1｜．

（Ⅰ）解不等式f（x）＞1；

（Ⅱ）当x＞0时，函数g（x）＝
（a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数a的取值范围．

2016年高中毕业年级第一次质量预测

理科数学 参考答案

一、选择题

ADBCC BDA AA DD

二、填空题

13.60； 14.
15.
16.

三、解答题（共70分）

17.⑴解：由已知条件:

-----2分

当
时，

当
时，
而
，
，------6分

⑵解：由⑴可得
-----7分

当
为偶数时，
---9分

当
为奇数时，
为偶数
---11分

综上，
--------12分

18.⑴解：设下周一有雨的概率为
，由题意，
， -------2分

基地收益
的可能取值为
，

则

所以基地收益
的分布列为：

20

15

10

7.5





0.36

0.24

0.24

0.16



 -------6分

基地的预期收益
，

所以，基地的预期收益为14.4万元.---------8分

⑵设基地额外聘请工人时的收益为
万元，

则其预期收益
（万元），--------10分

，

综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以.------12分

19.⑴证明：设
与
交于点
，连结
，在矩形
中，点
为
中点，

因为
为
中点，所以
∥
，又因为
平面
，
平面
，所以
∥平面
.-----4分

⑵解：因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
，

所以
平面
，------6分

以
为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设
，
，

，因为
，

所以
，
，--8分

设平面
的法向量
， 由
得到
的一个解为
，注意到平面
的法向量
，--10分

而
所以，平面
与
所成锐二面角的大小为
.12分

20.⑴解：设曲线
上任意一点坐标为
，

由题意，
， -----2分

整理得
，即
，为所求.-----4分

⑵解：由题知
，且两条直线均恒过点
，设曲线
的圆心为
，则
，线段
的中点为
，则直线
：
,设直线
：
，

由
，解得点
，-----6分

由圆的几何性质，
，而
，
，
，解之得
或
，又
两点均在
轴下方，直线
：
.由
解得
或

不失一般性，设
， --9分

由
消
得：
，⑴

方程⑴的两根之积为1，所以点
的横坐标
，

又因为点
在直线
上，解得
，

直线
，所以
，--11分

同理可得，
，所以线段
的长为
. --12分

21.⑴解：函数
的定义域为
，
，

当
时，
，所以函数
的单调增区间是
，无减区间；--2分当
时，
；当
时，
，函数
的单调递减；当
时，
，函数
的单调递增.

综上：当
时，函数
的单调增区间是
，无减区间；当
时，函数
的单调增区间是
，减区间是
.----4分

⑵解：令
，问题等价于求函数
的零点个数， ----5分

当
时，
，有唯一零点；当
时，
，

当
时，
，函数
为减函数，注意到
，
，所以
有唯一零点；--7分

当
时，
或
时
，
时
，所以函数
在
和
单调递减，在
单调递增，注意到
，

，所以
有唯一零点； ----9分

当
时，
或
时
，
时
， 所以函数