高三年级第五次月考

数学试题（文）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页.第Ⅱ卷3至6页.考试时间120分钟，满分150分.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷的答题卡上.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.保持卷面清洁，不折叠，不破损.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数
，则
的虚部为

A.
B.
C.
D.

2.下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间
内单调递增的是

A．
B．
C．
D．

3.“
”是“
”成立的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

4.已知实数
、
满足
，则
的最大值为

A.
B.
C.
D.

5.已知角
的终边与单位圆
交于点
等于

A.
B.
C.
D.1

6.设
为等比数列
的前
项和，若
，则
（　 ）

A.-8 B.5 C. 8 D. 15

7.执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的
值分别为

A.5，1 B.5，2 C.15，3 D.30，6

8.将函数
的图象向左平移
个单位后的图象关于原点对称，则函数
在
上的最小值为

A.
B.
C.
D.

9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A. 6 B. 5.5 C.5 D. 4

10.已知定义在
函数
满足
，且
，则不等式
的解集为

A.
B.
C.
D.

11.设
为椭圆
的左、右焦点，且
，若椭圆上存在点
使得
，则椭圆的离心率的最小值为

A.
B.
C.
D.

12.已知直角
的三个顶点都在单位圆
上，点
，则
的最大值为

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.请将答案填写在答题纸上.

13．在区间
上随机地取一个数
，则事件A“
”发生的概率为 ．

14.已知点
是球
表面的四个点，且
两两成
角，
，则球的表面积为
．

15.已知双曲线
的右焦点为
，若过点
且倾斜角为
的直线与双曲线的左支没有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是 .

16. 函数
，
为
的一个极值点，且满足
，则

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知数列
的各项均是正数，其前
项和为
，满足
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，数列
的前
项和为
，求证：
].

18．（本小题满分10分）

如图甲，⊙
的直径
，圆上两点
在直径
的两侧，使
，
．沿直径
折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），
为
的中点．根据图乙解答下列各题：

（1）求点
到
的距离；

（2）在
弧上是否存在一点
，使得
∥平面
？若存在，试确定点
的位置；若不存在，请说明理由．

19.(本小题满分12分)

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

（Ⅰ)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（Ⅱ）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（Ⅲ）在需要提供服务的老年人中按分层抽样抽取7人组成特别护理组，现从特别护理组中抽取2人参加某机构组织的健康讲座，求抽取的两人恰是一男一女的概率.

20.（本小题满分12分）

如图,在抛物线
的焦点为
,准线
与
轴的交点为
.点
在抛物线
上,以
为圆心
为半径作圆,设圆
与准线
的交于不同的两点
.

(1)若点
的纵坐标为2,求
；

(2)若
,求圆
的半径.

21．（本题满分12分）

已知函数
，且
是函数
的一个极值点．

（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）设
，讨论函数
在区间
上零点的个数？

（参考数据：
，
）.

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

已知直线
与圆
相切于点
，经过点
的割线
交圆
于点
和点
，
的平分线分别交AB、AC于点
和
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，求
的值.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，圆
的圆心坐标为
，半径为2．以极点为原点，极轴为
的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，

直线
的参数方程为
（
为参数）

（Ⅰ）求圆
的极坐标方程

（Ⅱ）设
与圆
的交点为
，
与
轴的交点为
，求
．

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若
恒成立，求实数
的取值范围．

高三文科数学答案

BDACA 8DACB CC

13.
14.
15.
16.

17.(1)
(2)

18．（1）
（2）
弧上存在一点
，G为弧的中点满足
，使得
∥

19.（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为
%.

（2）
，所以有
的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.

(3)

20.（1）
（2）

20.解：（1）
，

得a=4．经检验a=4满足条件，

（2）由（1）知
，由
，解得
，

由
及x>0得
或
，

于是当
时，y=f（x）单调递增；当
时，y=f（x）单调递减；

当
时，y=f（x）单调递减．

（3）令g（x）=f（x）-m=0，于是f（x）=m，所以函数y=g（x）在区间（0,5]上零点的个数是y=f（x），x∈（0,5]与直线y=m交点的个数．

由下表：

x

（0,1）

1

（1,3）

3

（3,5）

5





-

0

+

0

-





f（x）

↘

极小值2

↗

极大值

↘





注意到：
>
>2，

所以函数f（x）在（0,5]的最小值为2，无最大值 结合大致图象可知：

当m<2时，g（x）=f（x）-m的零点个数为0；

当m=2或m>
时，g（x）=f（x）-m的零点个数为1；

当2

当
≤m<
时，g（x）=f（x）-m的零点个数为3．

20.（1）
（2）

20．解：本题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．

(1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.

由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，

所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝，

所以|MN|＝2＝2＝2.

(2)设C，则圆C的方程为2＋(y－y0)2＝＋y，

即x2－x＋y2－2y0y＝0.

由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0，

设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则



由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，

所以＋1＝4，解得y0＝±，此时Δ>0.

所以圆心C的坐标为或，

从而|CO|2＝，|CO|＝，即圆C的半径为.

22.（1）

为
的平分线，

；

又
直线
是圆
的切线，
；

又

，
；

.

（2）过
作
于
；

为圆
的直径，
，又

由
，则
，而
，

；则