广东省七校联合体2016届高三第二次联考试卷

数学理

参加学校：宝安中学 潮阳一中 桂城中学　南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学

第Ⅰ卷

一、选择题：

01．设复数
满足
，则
( )

A．3 B．-3

C．3i D．-3i

02．求值
( )

A．
B．-

C．
D．-

03．“a≤-3”是“f(x)=-|x+a|在[3,+∞)上为减函数”的什么条件( )

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．不充分不必要

04．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )

A．6种 B．10种

C．12种 D．24种

05．设FB1B、FB2B是双曲线C的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使得∠FB1BAFB2B=90°，且|AFB1B|=3|AFB2B|，则其离心率为( )

A．
B．

C．
D．

06．如图一个水平放置的透明无盖的正方体容器，高12cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )

A．
cmP3P

B．
cmP3P

C．
cmP3P

D．
cmP3P

07．如图△ABC中，D、E分别是AB和BC的三等分点，若
，
，则
( )

A．
B．

C．
D．

08．已知函数f(x)=
,则y=f(x)的图像大致为( )

09．执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2)

和实数aB1B,aB2B,…,aBNB,输出A,B,则( )

A．A+B为aB1B,aB2B,…,aBNB的和

B．
为aB1B,aB2B,…,aBNB的算术平均数

C．A和B分别是aB1B,aB2B,…,aBNB中最大的数和最小的数

D．A和B分别是aB1B,aB2B,…,aBNB中最小的数和最大的数

10．
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含
项为( )

A．0 B．

C．
D．

11．如图一个圆柱被一个平面截去一部分后与半

球(半径
=3)组成一个几何体，该几何图体

三视中的正视图和俯视图如图所示，则该几

何体的表面积为( )

A．

B．

C．

D．

12．设函数
，若存在唯一的整数
，使得
，

则
的取值范围是( )

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：

13．若函数
为奇函数，则
____________

14．经过双曲线
的左顶点，

虚轴上端点，右焦点的圆的方程是_____________

15．若
满足约束条件
，则
的最小值为_____________

16．已知
分别为
的三个内角
的对边，
=2，

且
，则
周长的最大值为__________

三、解答题

17．(本小题满分12分)

已知
为数列
的前
项和，

，

⑴求
的通项公式；⑵设
，求数列
的前
项和

18．(本小题满分12分)

人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：

幸福感指数

[0，2)

[2，4)

[4，6)

[6，8)

[8，10]



男居民人数

10

20

220

125

125



女居民人数

10

10

180

175

125



根据表格，解答下面的问题：

(Ⅰ)在右图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；

(Ⅱ)如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人都感到幸福)的对数，求X的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率)．

19．(本小题满分12分)

如图是某直四棱柱被平面α所截得的部分，

底面ABCD是矩形，侧棱GC、ED、FB都垂

直于底面ABCD，GC=3，AB=
，BC=
，

四边形AEFG为菱形，经过C且垂直于AG的

平面与EG、AG、FG分别交于点M、H、N；

⑴求证：CN⊥BH；

⑵求面AFGE与底面ABCD所成二面角的余弦值。

20．(本小题满分12分)

椭圆
的上顶点为A，
是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．

⑴求椭圆C的方程；

⑵设过点M
的动直线
与椭圆C相交于D、E两点，求
面积的最大值

21．(本小题满分12分)

已知函数
，

⑴若函数
在区间
无零点，求实数
的最小值；

⑵若对任意给定的
，方程
在
上总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围．

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，

⑴证明：∠ADE=∠AED；

⑵若AC=AP，求
的值.

23．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

已知曲线C
：
(t为参数)， C
：
(
为参数).

⑴化C
，C
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

⑵若C
上的点P对应的参数为
，Q为C
上的动点，求
中点
到直线
距离的最大值．

24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

⑴若
的解集为
，求实数
的值；

⑵当
时，当
时，不等式
恒成立，求
的取值范围.

七校联合体2016届高三第二次联考试卷

理科数学（答案）

一、选择题：CCDCBD、ABCADB

二、填空题：

-2

6

三、解答题

17．解：⑴当n≥2时，
……①

∴
……②【1分】

∴②-①得
，即

……【3分】

由
，得
……【4分】

∴



……【6分】

∵
、
都满足上式

∴
……【7分】

⑵


……【9分】

∴

……【12分】

18．解：(1)频率分布直方图如右……【3分】

所求的平均值为：

0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5

+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46……【5分】

(2) 男居民幸福的概率为

女居民幸福的概率为

故一对夫妻都幸福的概率为0.5×0.6=0.3……【7分】

因此X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B(4,0.3) ……【8分】

∴
，

，

，

∴X的分布列为

X

0

1

2

3

4







p

0.2401

0.4116

0.2646

0.0756

0.0081

……【11分】



∴
……【12分】

19．⑴证：连结BH，由题知AB⊥面BCGF

又∵CN
面BCGF，∴AB⊥CN ……【1分】

∵AG⊥面CMN，∴AG⊥CN ……【2分】

又∵AG∩AB=A，AG、AB
面BAH，∴CN⊥面BAH……【4分】

又∵BH
面BAH，∴CN⊥BH ……【5分】

⑵解：以DA、DC、DE为x、y、z轴，建立空间直角坐标系……【6分】

∵四边形AEFG为菱形，可设AE=EG=a，DE=b

由
，得

由
，得

以上面两式解得：a=3，b=2 ……【8分】

∴
、
、

∴
、

由
，解得
为面AFGE的一个法向量……【10分】

由题知
为面ABCD的一个法向量

∴

，∴所求二面角的余弦值为
……【12分】

20．解：⑴由题知：
，∴

∵
，
，即
……【1分】

又
且
， ……【2分】

∴
，∴椭圆
的方程为：
……【4分】

⑵依题意可设动直线
的方程为：

设

由
可得
……【5分】

则
，解得
……【6分】

由韦达定理可得
，
……【7分】

∴

……【8分】

设点O到直线
的距离为
, 则

∴

……【10分】

∴当
即
时，
取得最大值，最大值为

21．解：⑴记
，
，则

∵
在
上无零点，∴直线
与曲线
在
上无交点

只需
，即

解得
，∴a的最小值是
……【4分】

⑵
，

在
上，
，
单调增；在
上，
，
单调减

，
，

∴
在
上的值域为
……【6分】

①当
时，在
上，
，
单调减，不合题意……【7分】

②当
时，令
得

(i)当
时，即
时，

在
上，
，
单调减，不合题意……【8分】

(ii)当
时，即
时，

在
上，
，
单调减；在
上，
，
单调增

∵
，使得
……【9分】

∴要使方程
在
上总存在两个不等的实根

只需
，即
……（*） ……【10分】

令
，

，令
得x=0

在
上，
，
单调增；在
上，