“四校”2015—2016学年度高三第二次联考

理科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。全卷满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

⒉做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。

⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：

柱体体积公式：
（其中
为底面面积，
为高）

锥体体积公式：
（其中
为底面面积，
为高）

球的表面积、体积公式：
（其中
为球的半径）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （　　）

　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

2．已知集合M={x|y=lg
}，N={y|y=x2+2x+3}，则（?RM）∩N= （　　）

　 A． {x|0＜x＜1} B． {x|x＞1} C． {x|x≥2} D． {x|1＜x＜2}

3、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2 ...960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落人区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C的人数为 （　　）

A. 15　 B. 10 　 C. 9 　 D. 7

4.设{
} 是公差为正数的等差数列，若
，且
，则
等于（　　）

A．120 B． 105 C． 90 D．75[来源:Z.xx.k.Com

5.由
和
所围成图形面积是 （　　）

A.
B.
C.
D.

6．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+
的离心率为 （　　）

　 A．
B．
C．
或
D．
或

7．定义某种运算
，运算原理如图所示，则
的值为 （ ）

A．15 B．13C OMC．8 D．4

第7题图 第8题图

8.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 （　　）

A．54 B.27 C.18 D.9

9. .如图，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足＝＝2，若||＝2，||＝3，∠BAC＝120°，则·的值为 （　　）

A．－2 B．2 C. D．－

第9题图 第10题图

10．如图,在平行四边ABCD中,
=90.,2AB2 +BD2 =4,若将其沿BD折成直二面角 A-BD-C,则三棱锥A—BCD的外接球的表面积为 （ ）

A.
B.
C.
D.

11. 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则
的最大值为 （　　）

A．
B． 1 C．
D． 2

12.已知定义在
上的单调函数
，对
，都有
，则函数
的零点所在区间是 （　　）

.

.

.

.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13.
的展开式中的常数项为________．

14.若数列
是正项数列，
，则
_____．

15．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为_______．

16.在
a、b、c,若其面S=
_______．

三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题12分）设
的内角
所对的边分别为
且
.

(1)求角
的大小;(2)若
,求
的周长的取值范围.

18、(本小题满分12分) 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为
分）进行统计，制成如下频率分布表．

分数（分数段）

频数（人数）

频率



[60,70)







[70,80)







[80,90)







 [90,100)







合 计







（1）求出上表中的
的值；

（2）按规定，预赛成绩不低于
分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格.

①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；

②记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为
，求
的分布列和数学期望.

19．（本小题12分）如图，在四棱锥
中，
⊥平面
，
于
，
为线段
上一点，且
，

（1）求证：
平面
；

（2）若
，
，
，
且

求
与面
所成角的正弦值。

20. （本小题12分）已知抛物线
：
，直线
交
于
、
两点，
是线段
的中点，过
作
轴的垂线交
于点
。

（1）证明：抛物线
在点
处的切线与
平行；

（2）是否存在实数
使
，若存在，求
的值；若不存在，说明理由．

21.（本小题12分）设函数
．

（1）证明：当
时，
；

（2）设当
时，
，求实数
的取值范围．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22、（10 4—1.

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．

（1）证明：AE是⊙O的切线；

（2）如果AB=2
，AE=
，求CD．

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知圆M的极坐标方程为
，现以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系。

（1）求圆M的标准方程；

（2）过圆心M且倾斜角为
的直线
与椭圆
交于A，B两点，求
的值。

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数f（x）=|x﹣1|．

（1）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；

（2）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．

“四校”2015—2016学年度高三第二次联考

理科数学评分标准

选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

D

B

C

D

B

C

A

A

A

C





二.填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）

13. 84 . 14.
. 15.  . 16.
.

三、解答题（解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

17、（本小题满分12分）

解(1)由
得
…………2分

又

…………4分

…………6分

(2)由正弦定理得:
,
…………8分

…………10分

,

故
的周长的取值范围为
. …………12分

18．（本小题满分12分）

解：（1）由题意知，
…………3分

（2）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人， …………4分

①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件
，

则

所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为
. …………-6分

②随机变量
的可能取值为
…………7分

，
,
， …………10分

随机变量
的分布列为：



















…………11分

因为
，

所以随机变量
的数学期望为
. …………12分

19. （本小题满分12分）

（1）
，

,连接
， …………1分

所以
，又
，

，又
都是平面
中的直线，

OE∥
， …………3分

且
，
，

∥
…………4分

（2）

，
，
且

在等腰梯形中
…………5分

由（1）知
，分别以
为
轴建立空间直角坐标系
，

则
…………6分

设平面
的法向量为
则
，所以

取
，则
，
， …………9分

又
，

…………11分

所以PB与平面PCD所成角的正弦值为
…………12分

20、（本小题满分12分）

解：（1）设
， …………1分

联立
得
…………2分

所以
， …………3分

， …………4分

，

所以

所以抛物线
在T点处的切线与MN平行。 …………6分

（2）由（1）可得
，则 …………7分

…………9分

…………11分

解得
，所以存在
满足
…………12分

21、（本小题满分12分）

解：（1）证明：当
时，
，

，即
.

令
，
． …………2分

，

令
，得
．

所以当
时，
，

故当
时，
，即
，即
，且当且仅当
时等号成立．…………4分

（2）解：由
时，
恒成立，故
. …………5分

设
，
，则

． …………6分

设
，
， …………7分

则
.
…………8分

当
，即
时，

，
时，
，
，故
.

所以
单调递增，
，

故
单调递增，
恒成立，符合题意. …………10分

当
，即
时，

存在
，