“四校”2015―2016学年度高三第二次联考

文科数学试题

考试时间:120分钟 总分:150分

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1. 已知M={0,1, 2,3, 4}，N={-1,3, 5,7}，P=M∩N，则集合P的子集个数为(　 )

A.? 2　　 B．3　 C．4　　???? D.? 5

2. 已知复数
（
为虚数单位），则z的虚部是（ ? ）

A.1???????? B.-1? ? ? ? ? ? C.0? ? ? ? ?D.

3. 已知向量
=(1, -1) ,
=(2, x) ，若
·
=1, 则x=(　 　)

A. -1　　　　 B. -
　　　　 C.
　　　　 D. 1

4. 下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位: 台) 的茎叶图, 则数据落在区间[22,30) 内的频率为(　 　)

A. 0.2　　　　B. 0.4　　　　C. 0.5　　　　D. 0.6

5. 在直角坐标系
中，“方程
表示椭圆” 是“m＞n＞0” 的（　 ）

A充分不必要条件　B. 必要不充分条件 C. 充要条件　D. 既不充分也不必要条件

6. 抛物线
上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线的焦点到准线的距离为(????)A.?4 B.?9 C.?10 D.?18

7. 若等比数列
满足
，
，则公比
（ ? ）?

A.1?????B.2? ? ? ? C.-2? ? ? ? D.4

8. ?已知直线
和
是函数f(x) =2sin(ωx+
)（ω>0, 0<
<π）图象的两条相邻的对称轴, 则
=(　　)

A.?
　　　　B.?
　　　　C.?
　　　　D.?

9. 利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（　　 ）

A.4　　　　 B.3　　　 　C.2　　　　 D.1

10. 已知
、
是双曲线
的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点M关于直线
的对称点为
,则该双曲线的离心率为(? ? ??)  A.?
B.? 2 C.?
D.?

11. 已知函数f(x)=|x-a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a的取值范围是(　 　)

A.(-∞,1]　　 B.(-∞,-1]　　 C.[-1,+∞)　　 D.[1,+∞)　

12. 某几何体的三视图如图所示,当xy最大时,该几何体外接球的表面积为(?? ??)

A.? 32π B.? 64π C.?128π D.136π?

二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 函数f(x)=
的定义域是　　 .

14. 若实数x、y满足
则
的取值范围是 _____________.

15. 曲线
在点(0,-1)处的切线方程为_____________.

16. 设数列
满足
,点
对任意的
,都有向量
,则数列
的前n项和
．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.17-21题各题12分，22、23或24题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

17. 设
的内角
所对的边是
，且

????（1） 求
；

????（2）求
的值.????

18. 如图， 在三棱锥P-ABC中，
．

（1）求证：平面
平面
；

（2）若
，
，当三棱锥
的体积最大时，求
的长．

19. 某旅行社为调查市民喜欢“自然景观” 景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：

喜欢

不喜欢

合计



大于40岁

20

5

25



20岁至40岁

10

20

30



合计

30

25

55



（1） 判断是否有99.5％的把握认为喜欢“自然景观” 景点与年龄有关？

（2） 用分层抽样的方法从喜欢“自然景观” 景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁” 的市民和1位“20岁至40岁” 的市民的概率．

下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



（参考公式：
，其中
）

20. 已知点
和
是椭圆M:?
的两个焦点，且椭圆M经过点
.

（1）求椭圆M的方程；

（2）过点P(0,2) 的直线
和椭圆M交于A、B两点，且
, 求直线
的方程；

21. 已知函数
.

(1)若函数
在
和
上是增函数，在
上是减函数，求
的值；

(2) 讨论函数
的单调递减区间；

(3) 如果存在
，使函数
，
，在
处取得最小值，试求b的最大值.

请考生在（22）、（23）、(24)三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，本题10分。

22. 如图, AB是⊙O的直径, C, F是⊙O上的点, OC垂直于直径AB, 过F点作⊙O的切线交AB的延长线于点D, 连结CF, 交AB于E点.

(1) 求证: DE2=DB·DA;

(2) 若⊙0的半径为
, OB=
OE, 求EF的长.

23. 已知在直角坐标系xOy中, 直线
过点P(1, -5) , 且倾斜角为
, 以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 半径为4的圆C的圆心的极坐标为
.

(1) 写出直线
的参数方程和圆C的极坐标方程;

(2) 试判定直线
和圆C的位置关系.

24. 已知
(a是常数，a∈R)

（1）当a=1时求不等式
的解集．

（2）如果函数
恰有两个不同的零点，求a的取值范围．

“四校”2015―2016学年度高三第二次联考文科数学答案

一、选择题 ABDBB CBADD CC

二、填空题

13.
； 14. [2, +∞)； 15. 5x+y+1=0； 16.
。

三、解答题

17．解：（1）由正弦定理
………………………2分

∵

∴
，又
………………………4分

∴
………………………6分

（2）由余弦定理
………………………8分

??????∴

＝

＝

＝

＝

＝
………………………12分

18．解：（1）因为
，

所以
，
．

又
，所以
平面
．

　　又
平面
，所以
．

又
，所以
．

又
，所以
平面
．

又
平面
，所以平面
平面
．　　 ………………………6分

（2）由（1）知，
平面
，

所以
是三棱锥
的高． ………………………7分

设

，

又
，所以
．

又
，
， ………………………8分

所以

………………………9分

． ………………………10分

当且仅当
，即
时等号成立．

所以当三棱锥
的体积最大时，
．　 　………………………12分

19．解：

（1）由公式 ， ………………………5分

所以有
的把握认为喜欢“自然景观” 景点与年龄有关。………………………6分

（2）设所抽样本中有
个“大于40岁” 市民，则 ，得
人…………7分

所以样本中有4个“大于40岁” 的市民，2个“20岁至40岁” 的市民，分别记作
，从中任选2人的基本事件有：

共15个， ………………………9分

其中恰有1名“大于40岁” 和1名“20岁至40岁” 之间的市民的事件有






共8个。…………………10分

所以恰有1名“大于40岁” 和1名“20岁至40岁” 之间的市民的概率为

………………………12分

20．解：（1）由焦点
得c= ，

所以
， ………………………1分

所以设椭圆M的方程是 ， ………………………2分

又点 在椭圆M上，所以 ，

解得
，
, ………………………4分

所以椭圆M的方程为 .　　　　　 ………………………5分

（2）由（1）知椭圆方程为 .

当直线
的斜率不存在时，则 , 或 .

　　 当
时，
，所以
；

　　 当
时，
，所以 ；

又 ，所以此时不合题意. ………………………6分

当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，B(x1, y1), A(x2, y2),

则
，

直线
的方程与椭圆M的方程联立得

消去
，整理得.

所以 ，解得 ………………………7分

且. ………………………8分

又 ，所以 ，所以 。

所以 ，

所以 ，

所以 ， ………………………10分

解得 ，所以 ， ………………………11分

所以直线
的方程是 。 　　　 ………………………12分

21．解（1） ， ………………………1分

函数 在 和 上是增函数，在 上是减函数，

∴ 为 的两个极值点， ………………………2分

∴ 即 解得 .

可以验证当 时符合题意，

∴ .　　 　　　　　　 ………………………4分

（2） ，
，

， ， ………………………6分

当
时，令 ，解得 ，即 的单调减区间为 ；

当 时，令 ，解得 ，即 的单调减区间为 .

综上所得，当
时，
的单调减区间为 ；当
时，即
的单调减区间为
.　　　　　　　　　 ………………………8分

（3）∵
，
，

∴

，
.

又函数
在
处取得最小值，

∴
对 恒成立， ………………………9分

又
，∴
对
恒成立，

又

　　?

　　?
，

∴对
，恒有
，

当
时，
，则
显然成立；……………10分

当
时，
，则有：

，

令
，
，
，

∵
，二次函数
的图象（抛物线）的开口向下，

又
，∴
，

∴

，

∴
，

又
，
，∴ ，

又 ，∴
，∴
，∴
，

解得 ， ………………………11分

又
，∴ ，

∴b的最大值是 .　　　　 ………………………12分

22. (1) 证明: 连结OF, ∵DF切☉O于F,

∴∠OFD=90°, ∴∠OFC+∠CFD=90°. ………………………1分

∵OC=OF, ∴∠OCF=∠OFC.

∵CO⊥AB于点O, ∴∠OCF+∠CEO=90°.

∴∠CFD=∠CEO=∠DEF, ∴DF=DE. ………………………3分

∵DF是☉O的切线, ∴DF2=DB·DA. ………………………4分

∴DE2=DB·DA.（5分）

(2) 由题意得OE=
OB=2, CO=AO=
, ………………………6分

∴CE=
=4. ………………………7分

∵CE·EF=AE·EB=(
+2) (
-2) =8, ………………………9分

∴EF=2. ………………………10分

23. (1) 由已知得, 直线l的参数方程是 (t为参数) ……2分

圆心C的直角坐标为(0, 4) ………………3分

∴圆C的直角坐标方程为x2+(y-4)?2=16………………4分

由 ……………………5分

得圆C的极坐标方程是ρ=8sin θ……………………6分

(2) ∵圆心的直角坐标是(0, 4) , 直线l的普通方程是
x-y-5-
=0………………8分

∴圆心到直线l的距离
………………9分

∴直线l和圆C相离…………………………10分

24. 解析：

（1）

∴ 的解为 ?，………………………5分

（2）由 得,? ………………………6分

令 , , ………………………7分

作出它们的图象，可以知道，当
时，这两个函数的图象有两个不同的交点，……9分

所以，函数
有两个不同的零点。………………………10分

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