2016届高三第一学期期末质量检测

高三数学（理科）

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.直线
的倾斜角的大小是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.已知实数
满足
，则
的最小值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

5.设
，则这三个数的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

6.已知命题
；命题
，函数
在
上为减函数，则下列命题为真命题的是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 若函数
的图象向左平移
个单位，得到的函数图象的对称中心与
图象的对称中心重合，则
的最小值是（ ）

A．1 B．2 C．4 D．8

8.已知
，若对
，则
的形状为（ ）

A．必为锐角三角形 B．必为直角三角形 C．必为钝角三角形 D．答案不确定

9.函数
的零点的个数为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

10.已知圆C：
，点P在直线
上，若圆C上存在两点A，B使得
，则点P的横坐标的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）

11. 已知随机变量
，且
，则
.

12. 已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则
= .

13.观察下列等式：

……

照此规律，第
个等式为 .

14.某几何体的三视图如图所示，其俯视图的外轮廓是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是 .

15.已知直线
与抛物线
交于A、B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D在曲线
上，则
.

三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16.（本小题满分12分）

已知直线
与直线
是函数
的图象的两条相邻的对称轴.

（1）求
的值；

（2）若
，
，求
的值.

17. （本小题满分12分）

已知等比数列
的前n项和为
，
，公比
，
成等差数列.

（1）求
；

（2）设
，求数列
的前
项和
.

18. （本小题满分12分）

甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，甲做对的概率为
，乙、丙做对的概率分别为
，且三位学生是否做对相互独立，记
为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

0

1

2

3















（1）求至少有一位学生做对该题的概率；

（2）求
的值；

（3）求
的数学期望.

19. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧棱
⊥底面
，
，
是
的中点.

（1）求证：
//平面
；

（2）求锐二面角
的大小.

20. （本小题满分13分）

已知椭圆
上一点与它的左、右两个焦点
的距离之和为
，且它的离心率与双曲线
的离心率互为倒数.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），
的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点.

(i)当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；

(ii)求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程.

21. （本小题满分14分）

已知函数
.

（1）求曲线
在点
处的切线方程；

（2）若当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）
的极小值为
,当
时，求证：
.(
为自然对数的底)

二○一六届高三第一学期期末质量检测

高三数学（理科）参考答案及评分标准 2016.1

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

DBDA AACC BD

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.
12.
13.

14.
15.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.解：(1)因为直线
、
是函数
图象的两条相邻的对称轴，

所以
，即
.………………………………………5分

又因为
，所以
………………………………………………………6分

(2)由(1)，得
.由题意，
.………………………………7分

由
，得
.从而
.…………………………8分

…………………………10分

………………………………12分

17.解：(1)因为
成等差数列，

所以
.…………………………………………1分

化简得
.……………………………………………………………………3分

所以
. 因为
，所以
.………………………………………4分

故
……………………………………………………6分

(2)
…………………………………………8分

…………………………………10分

………………………………………………………12分

18.解：（1）至少有一位学生做对该题的概率为
………………4分

（2）由题意，得
………………………………………………6分

又
，解得
，
………………………………………………………8分

（3）由题意，
………………………………9分

……………………10分

…………………………………………12分

19. （1）解法一：如图，以
为坐标原点，分别以
所在的方向为
的正方向，建立空间直角坐标系

则
.…………………2分

法一：

设
即

解得

所以

又
平面
，所以
平面
.…………4分

法二：取
的中点
，则

，
.

所以

，所以

又
平面
，
平面
，

所以
平面
.……………………4分

法三：

设
为平面
的一个法向量，

则
，即

取
，则
于是

又
，所以
所以
.

又
平面
，所以
平面
.……………………………………4分

解法二：连接
，设

因为
是正方形，所以
是线段
的中点.

又
是线段
的中点，所以，
是△
的中位线.

所以
…………………………………………2分

又
平面
，
平面
，

所以
平面
.………………………………4分

（2）解法一：由（1）中的解法一，
，
.

设
为平面
的一个法向量，

则
，
.

取
，则
.于是
………………7分

因为
是正方形，所以

因为
底面
，所以

又
，所以
平面

所以
是平面
的一个法向量.………………………………10分

所以
.…………………………………………11分

所以，锐二面角
的大小为
. …………………………………12分

解法二：如图，设

在


中，过
作
于
，连接
…………………………5分

因为四边形
是正方形，

所以
，即
…………………………6分

因为侧棱
底面
，
平面
，

所以
…………………………………………7分

又
，
，所以
平面

所以
………………………………………8分

又
，
，所以
平面

所以
从而
就是二面角
的一个平面角…………………9分

在


中，
……11分

在


中，
所以

所以二面