2015—2016学年度第一学期学期学情检测

高三（理）数学试题 2015.12

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知命题
、
，则“

为真”是“

为真”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．向量
，
，且
∥
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．设
、
是两条不同的直线，
、
是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ）

A．若
,
,
,则
B．若
,
,
,则

C．若
,
, 则
D．若
,
,
,则

5．不等式组
所围成的封闭图形的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．设实数数列
分别为等差数列与等比数列，且
，则以下结

论正确的是

A．
B．
C．
D．

7．若正实数
，
满足
，则（ ）

A．
有最大值
B．
有最小值

C．
有最大值
D．
有最小值

8．已知函数
，若命题“
”为真，则实数
的范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．设定义在
上的奇函数
，满足对任意
都有
，且
时，
，则
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

10．设
，
，在
中，正数的个数是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．已知函数
,则
；

12．在
中，若
，则
的值为 ；

13．观察下列等式

照此规律，第
个等式可为 ；

14．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的

三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ；

15．若函数
满足：存在非零常数
，使
，则称
为“准奇函数”，给出下列函数：①
；②
；③
；④
. 则以上函数中是“准奇函数”的序号是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤．

16．（本题满分12分）

已知函数
（
）的最小正周期为
．

（Ⅰ）求函数
的单调增区间；

（Ⅱ）将函数
的图象向左平移
个单位，再向上平移
个单位，得到函数
的图象．若
在
上至少含有
个零点，求
的最小值．

17．（本题满分12分）

把边长为
的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为
，容积为
.

（Ⅰ）写出函数
的解析式，并求出函数的定义域；

（Ⅱ）求当
为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.

18．（本题满分12分）

在如图所示的空间几何体中，平面
平面
，
与
是边长为
的等边三角形，
，
和平面
所成的角为
，且点
在平面
上的射影落在
的平分线上．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

19．（本题满分12分）

设函数
的图象在点
处的切线的斜率为
，且函数
为偶函数.若函数
满足下列条件：①
；②对一切实数，不等式
恒成立.

（Ⅰ）求函数
的表达式；

（Ⅱ）求证：

.

20．（本题满分13分）

设等差数列
的前
项和为
，且
（
是常数，
），
．

（Ⅰ）求
的值及数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，数列
的前
项和为
，若
对
恒成立，

求最大正整数
的值.

21．（本题满分14分）

已知函数
，
，
，令
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）若关于
的不等式
恒成立，求整数
的最小值；

（Ⅲ）若
，正实数
，
，满足
，证明：

2015—2016学年度第一学期学期检测

高三（理）数学答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分。

D A D D A A C B C D

二、填空：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．
； 12．
； 13．
； 14．
； 15．②④.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得

………………2分

由周期为
，得
. 得
………………4分

由正弦函数的单调增区间得

，得

所以函数
的单调增区间是
………………6分

（Ⅱ）将函数
的图象向左平移
个单位，再向上平移1个单位，

得到
的图象，所以
…………………………8分

令
，得：
或
…………………………10分

所以在每个周期上恰好有两个零点，

若
在
上有10个零点，

则
不小于第10个零点的横坐标即可，

即
的最小值为
…………………………12分

17. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为容器的高为
，则做成的正三棱柱形容器的底边长为
-………2分.

则
. ……………………………………………………4分

函数的定义域为
. ……………………………………………………5分

（Ⅱ）实际问题归结为求函数
在区间
上的最大值点.

先求
的极值点.

在开区间
内，
………………………………7分

令
，即令
，解得
.

因为
在区间
内，
可能是极值点. 当
时，
；

当
时，
. …………………………………………………10分

因此
是极大值点，且在区间
内，
是唯一的极值点，

所以
是
的最大值点，并且最大值

即当正三棱柱形容器高为
时，容器的容积最大为
.…………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知，
与
是边长为
的等边三角形，，取
中点
，

连接
，则
，
……………………………2分

又因为平面
平面
，

所以
平面
，

作
平面
，那么
，

所以点
落在
上，

所以
，

所以
，

是边长为
的等边三角形

所以
……………………………4分

所以四边形
是平行四边形，

所以
，
面
，
面

所以
平面
……………………………6分

（Ⅱ）解法一：作
，垂足为
，连接
，

因为
⊥平面
，

所以
，又
，

所以
平面
，

所以

所以
就是二面角
的平面角．……………………………9分

中，
，
，
．

所以
．

所以二面角
的余弦值为
.……………